“点到直线的距离”教学设计.docx
“点到直线的距离”教学设计【教学目标】(1)理解点到直线的距离公式的推导；(2)掌握点到直线的距离公式及其简单应用；(3)通过由特殊到一般的归纳、类比，提高学生探索问题的能力，增强数学技能和实际操作能力。【教学重点】引导学生通过自主探索与讨论，研究点到直线的距离公式。【教学难点】点到直线的距离公式的推导【学情分析】学生是省一级重点中学的普通班学生，基础较好，有一定的自学能力，推理能力及运算能力，己系统学习了直线的方程，两直线的交点坐标，两点间的距离公式，初步具备解析几何的能力。【教学过程】活动1：点到直线的距离的定义问题：已知直线/:2xy + 2 = 0,P(4,2),问：P到直线/上的哪一点的距离最近？引导提问：(1)这个问题实际上是求?(2)点P到直线/的距离是怎样定义的？(3)如何求PQ的长度呢？由学生思考给出解决方案活动2：探究、解决问题方案方拿一：过P点做直线/的垂线PQ,垂足为Q, Py = -l + 4,联立解得Q点坐标2(,¾.所以PQI=苧。点评：这个方法思路清晰自然，但运算略繁。实质上是将点到直线的距离问题转化为已经学习过的两点间的距离问题，我们可以称之为“定义法”。引导提问：(4)回忆两点间的距离公式是怎样推导的？(5)能否从中得到启示？方爱二：过尸点做平行于x轴的直线交/于点S,易得中S(),2),利用直线/的斜率可得tan ZPSQ = 2, sin ZPSQ = ,P = sin ZPSQ SP =迪5点评：此法简洁明了，巧妙的借助三角函数知识，简化了计算量，称之为“三角函数法”。引导提问：(5)还有类似做法吗？方拿三：过P点做平行于X轴，y轴的直线角交直线/分别于S, T点，利用面积相等法得o k到SPPT = PQST,从而计算得到| PQ |= 上。点评：通过构造直角三角形，运用面积相等的方法，把三角形的底边上的高转化为点到直线的距离，计算量较前两种方案少，称之为“等积法”活动3：类比、推广，得出公式上面解决了一个特殊问题，但在数学研究中我们更关注对一般问题的研究。由特殊到一般是数学研究中的一种常用方法，能否类比上述方案求点P(xo,>o)到直线/: Ar + B + C = 0 (A, B 不全为()的距离?方爱一：“定义法”：Ax + By+ C = 0A(x-xo)-B(j-yo) = O计算交点坐标得出BC ABx ÷ A yA2+B2B- x() ABy ACA2÷B2点评：计算量太大。方有二：“三角函数法“当3w时，设倾斜角为, tana = -一B,sin.= l-对口分钝角，锐角讨论。再讨论当3 = 0得出点P(Xo,y0)到直线/的距离。点评：此法对学生考虑问题的完整性和思维的严谨性要求较高。注意对倾斜角的讨论。方有三：“等积法”当A,B均不为0,过尸点做平行于X轴，y轴的直线角交直线/分别于S(x1,y0), (x0,y2)1=-,为=一£,I PS = x0-x, H 小。+ ?。+0 b PT= y0-为 1=1 他+?。+。|,B. A所以1ST |二4 + ) I A + 5yo+CAB，利用面积相等法得SPPT = PST,得出PQ=Ax() + By0 + C7a2 + B当AB=O时，检验也适合上式。点评：此法也要求思维的严谨性，但思路清晰明了，计算相对简洁。活动4：归纳小结(1)点到直线的距离距离公式：点P(x°,y°)到直线/: Ax+By + C = O (A, B不全为0)的距离为"二Ax) ÷ By) ÷ C7F(2)推导公式所用的数学思想与方法。活动5：应用新知，解决问题例1：求点P到直线/的距离(1) P(2,4),/ :3x + 4y 31 = 0(2) P(3,-2),/: y =-x + 32(3)P(2,-2),/: y = x- 4(4) P(-l,2),: 3% = 2(5) P(-2,3) ： y + 2 = 0评析：注意公式应用时直线方程为一般式(如题2)；特殊情况特殊对待，不用公式(题3,4,5)。例2：若点A(-2,3),到/:=勿+ 1的距离为行,求a的值(2)若点A(,Q2),/：xy 3 =(),求点a到直线/的距离的最小值。评析:注意公式的逆用。例3：求两平行直线： :12x 5y + 8 = 042x 5y-24 = 0之间的距离。并进行类比推广至一般情况。评析：转化,类比应用。活动6、归纳整理，巩固所学。提问：1、本节课所学的是 ?2、推导方法是?3、在实际应用时应注意的细节是 ?【课后作业】1、直线x+y + 2 = 0上的点到原点距离的最小值为()A. 1 B. 2 C. 3D.22、已知直线/: Ax + jy + C = 0(A8不同时为0),若点(1,1)到直线/的距离为1,则A、B、C应满足的关系式为3、已知点 A(l,3),B(3,l),C(T,0),求ABC 的面积。4、求与直线/:5x 12y + 6 = 0平行，且到/的距离为2的直线的方程。
