2 对偶空间.docx

§2对偶空间设V是数域P上一个维线性空间.丫上全体线性函数组成的集合记作L(V, P).可以用自然的方法在L(V, P)上定义加法和数量乘法.设,g是丫的两个线性函数.定义函数 + g如下：( + g) = () + g(), a eV. + g也是线性函数：(/ + g)( + /?) = f(a + ) + g(a + )=/(。) + /(/?) + g() + g()= ( + g)(a) + ( + g)(),(/ + g)(%) = f(ka) + g(ka) = kf(a) + kg(a) = k(f + g)().于+ g称为f与g的和.还可以定义数量乘法.设/是V上线性函数，对于P中任意数3定义函数"如下：(kf)(a) = -(a), V,"称为女与/的数量乘积，易证"也是线性函数.容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，L(V,P)成为数域P上的线性空间.取定丫的一组基£”名，,J，作丫上个线性函数力，人，,力，使得£(%) = ：'' ：' z,7=1,2,2,O,Jz,因为力在基，J，%上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对丫中向量。=£再与，有/=1即力9)是。的第，个坐标的值.f.(a) = xi,(2)引理对V中任意向量。,有a =(3)f=l而对L(V,P)中任意向量了,有 = ()Z(4)/=1定理2 匕尸)的维数等于丫的维数，而且力,力，,/是MRP)的一组基.定义2 L(P,V)称为丫的对偶空间.由(1 )决定L(V,P)的的基，称为£,£2,，£的对偶基以后简单地把V的对偶空间记作V.例 考虑实数域R上的维线性空间V = P灯”，对任意取定的个不同实数%,巴，/，根据拉格朗日插值公式，得到个多项式(x-0)(x-c*)(x-c%)(冗一 a“).pi(%) =!- ,/ = 1,2(q - q)(一 a)(火 一 ai+l)(q - an)它们满足si",九p ), P2 ),，P“是线性无关的，因为由GP(x) + c2 p2(x)+ + Cnpnx = 0用为代入，即得Qpkai) = cipp(ai) = ci =0 = 1,2,.2=1又因V是维的，所以1(工),2。)-，。)是丫的一组基.设乙V* (i = l,2,)是在点小的取值函数：L,("(x) = P(4), P(x) V.z = 1,2,n则线性函数4满足4(P3)= P(q)=C j：, i, / = 12 ，几O,Z,因此,乙,七2，也是Pl(x),P2(X)，P(X)的对偶基.下面讨论V的两组基的对偶基之间的关系.设V是数域尸上一个维线性空间.J,J,及7A2,，力是丫的两组基它们的对偶基分别是力/,/及.血，国再设（小力”n）=e，£2,，£）A（gl,g2，g = （f,f2，f“）B其中如 bi2 bltl21 人 22 ”2 也bn2bnn由假设i = ci + a2i2 + +。而£ ,i = 1,2,8i=bljfl +b2J2+ b*fn,j = ,2,因此Sj （7/） = ¼y （即马 +。2/2 + +。/）k=l加即+%+,+%/m；0,i 7,/,7 = 1,2 ,2由矩阵乘法定义，即得B,A = EB, = A,定理3设£”邑,及7,是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为"人，/及©，g2，g .如果由7,4，.，J到7，/，办的过渡矩阵为A,那么由九九/到g"g2,g 的过渡矩阵为(A')，设V是P上一个线性空间，V是其对偶空间，取定V中一个向量x,定义V*的一个函数x*如下：*() = (),v*.根据线性函数的定义，容易检验£*是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间(V*)*=V*中的一个元素.定理4 V是一个线性空间，V*是丫的对偶空间的对偶空间.V到的映射*x X是一个同构映射.这个定理说明，线性空间丫也可看成V*的线性函数空间，V与V*实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.