专题3 第4讲数列中的奇、偶项问题.docx

第4讲数列中的奇、偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.例 已知数列满足 = l, a2= 3 + (-im÷2-2+2(-ir-l=0, "N*.令儿=S,判断5是否为等差数列，并求数列的通项公式；(2)记数列的前2n项和为7,求T2fl.解 因为3 + (1)如+22为+2(1)-1=0,所以3 + (1)2"他+1 2。2-1 + 2(-1)2>-1 = 0,即 +-=2,又 bn = a2n-y 所以匕“+。“ = 2"+|一-1=2,所以儿是以"=0 = 1为首项，2为公差的等差数列，所以勿=l+(-l)X2 = 2一l, N*.对于3 + (1)如+2-2如+2(1)"- 1=O,当为偶数时，可得(3+1)。+22%+2(1 1) = 0,即等4 所以2,。4, 6,是以42=T为首项，聂公比的等比数列；当“为奇数时，可得(32斯+2(1 1)=0,即。+2斯=2,所以。1,的,。5,是以0 = 1为首项，2为公差的等差数列，所以7” = (。I +。3 HH。2,?-1) + (。2 +。4 Hb。2)=n×+n(n-)×2+广12= j2÷ 1 -2, zN*.能力提升-(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型数列中连续两项和或积的问题(。+。+=/5)或必+1=仙)；含有(一1)的类型；含有d, S,l的类型；已知条件明确的奇偶项问题.(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列斯求S时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把2A-l+02A看作一项，求出S2%,再求S2L1=S2A'-。跟踪演练1 .数列斯的通项公式为斯=(-1)"(4-3),则它的前10()项之和&00等于(A. 200 B. -200 C. 400 D. -400答案B解析 Soo=(4Xl 3)(4X23)+(4X33)(4X 1003)=4X(1 2)+(34)+ (99-100)=4×(-50)=-200.2 .已知数列斯的前n项和S = (1)"小 若对任意的正整数，使得>(即-p)<0恒成立，则实数的取值范围是.答案(一1,3)解析当 =1 时，6Z1 = S1 = -1；当 时，如=SlSi=(一 1)，一(T)'L5T) = (T)"(2九一 1).因为对任意的正整数，(斯+ip)(斯-p)<0恒成立，所以(一 1)'内(2 + 1)一皿(一 1)(2- l)-p<0.当是正奇数时，化为p(2+l)p+(2-l)<0,解得 1 2<p<2 +1,因为对任意的正奇数都成立，取 =1时，可得一l<p<3.当是正偶数时，化为p(2-l)p+(l+2)<0,解得一1 2n<p<2n-1,因为对任意的正偶数都成立，取=2时，1<<3,解得T<p<3.联立可得一5<p<3.-5<p<3,所以实数的取值范围是(一1,3).3 .在数列。中，已知 = l, 0M"+l=(g)",记 S为斯的前项和，bn = a2n + ain-, "N*.判断数列儿是否为等比数列，并写出其通项公式；求数列斯的通项公式；求Sn解(1)因为 Clnan I = Q)",所以斯+1为+2 =所以-=29 艮 4"+2 = 14”E 为人 =。2 +。2/】1,1 .1所以b+】 ÷2 + ÷l 声十乎27b Cl2n +。2一 1+ C2l I2*九N*所以数列儿是公比为3的等比数列.、113、3因为 41 = 1, 0。2=所以。2 = /, 1=。|+。2 = /, 所以 =1X(2)由(1)可知%+2=%，所以0是以Cl = 为首项，；为公比的等比数列；«2。4,。6,是以"2=3为首项，；为公比的等比数列,所以 Cl2n-1 =nClin，为奇数,为偶数.2、1-(3)因为 S,l=(a+ ayAFs” D + Sz+aiHF)=÷12314又 §2-1 §2 一。2 一 3一2? 23 3所以Sn=3-二，为偶数，2243为奇数.+l2