专题2 第6讲三角函数的图象与性质.docx
第6讲三角函数的图象与性质考情分析i.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，常与三角恒等变换交汇命题2主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下.考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系【核心提炼】1 .同角关系：sin2÷cos2a= 1, =tan af÷,cos a 2）2 .诱导公式：在了+, ZZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.例1已知角的终边上一点的坐标为（si卷，cos等，则角。的最小正值为（）5 - 11兀 _ 5 _ 2A - B.- Cv D."7o o 33答案c解析角«的终边上一点的坐标为（si聋，cos高，即为点（；，一坐），在第四象限，且满足cosa=J, sin o=半，故1的最小正值为手，故选C.（2）（2020山东师范大学附中模拟）若sin 6>=5cos（2-0,则tan 20等于（）a _正b亚c -史D苴Z3 32 jlx 2答案c解析 Vsin 6=巾cos（2兀一。），/. sin 0=小cos 0,得 tan =y5,.f 2tan 025_5tan20l-tan-l-（5）22二级结论（1）若。£（0,。则 sin a<<tan 0.（2）由（sin ÷cos a）2 = 1 ÷2sin acos a9 可知一求二.跟踪演练 1 （1）（2020全国I）已知 2tan e-tan（e+*7,则 tan 等于（）A. 2 B. 1 C. 1 D. 2答案D解析 2tan -tanf÷）=2tan - *tan =7,4）1 tan 解得 tan =2.(2)已知 (0,兀)，且 cosaA.151717)答案D解析sinf÷0jtan(÷)=cos tan =sin «,因为(),兀)，且cos 1=一行，所以 sin a=y 1 cos2a即 sin(5+)tan(t+o)=J故选 D.考点二三角函数的图象与解析式【核心提炼】三角函数图象的变换(1)先平移后伸缩U步骤1 f画出y=sinx的图象步骤2得到y=sin(x+ 3)的图象得到y=sin( x+ <p)的图象向左(右)平移HI个单位长度jn 1横加标变为原来的&倍口n纵坐标变为原来的A倍步骤4得到y=Asin( x+ 3)的图象(2)先伸缩后平移U例2 已知函数ytr)=Asin(c0r+°)(A>O, m>0, e<)是奇函数，且以)的最小正周期为,将y=U)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g()若闾=隹贝闺等于()A. -2 B. -2 C.2 D. 2答案C解析.,U)的最小正周期为兀，.s = 2.又於)=Asin(2x+9)是奇函数，I = k(kGZ), V<, =0,U)=Asin 2x,则 g(x)=Asin x,Vt()=2, P Asin =2, A=2.(x)=2sin 2x9/管)=2$抽(2'引=也.故选C.7（2）设函数g（） = sin GX（G>O）向左平移盆个单位长度得到函数7U）,已知7U）在0,2上有且只有5个零点，则下列结论正确的是./U）在（0,2兀）上有且只有3个极大值点，2个极小值点;/U）在（0,聆）上单调递增；口的取值范围是3粉答案解析 依题意得人工）=sinco（x+/）=sinQ+5）,丁=普,如图:对于，根据图象可知，aW2t<X8, 7U）在（0,2兀）上有3个极大值点，7U）在（0,2兀）上有2个或3个极小值点，故不正确；对于，因为 川=一言；+|7=一£；+|义孑=烹，XB= 一卷+37= 一卷+3X言=等,所以等W2兀等，解得端，所以正确；jc jcj 1U对于,因为一全+%=K*x那急,由图可知©在（。，急）上单调递增,因为<3,所以行一悬=都一力<°，所以於）在（），而）上单调递增，故正确.故正确.易错提醒（1）根据零点求9值时注意是在增区间上还是在减区间上.注意变换时“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别.跟踪演练2 （1）（2020全国I ）设函数yU）=cos（s+*）在兀，兀上的图象大致如图，则於）的最小正周期为（）10兀c 7兀 _ 4兀、3兀A.- B.丁 C 丁 D.k9632答案c解析由图象知兀<V2兀，2j即<两<2兀，所以l<<2.因为图象过点（一争，0）,f 4 . 所以cos（-g+力=0,所以一等+/=也+多kS,93所以=一於一1，kZ.3因为 l<0><2,故 k= - 1,得 co=.故7U）的最小正周期为=.（2）已知函数於）=sin（s+4网专 m>（）的图象在），轴右侧的第一个最高点为尼，1）,在原点右侧与x轴的第一个交点为嫦，（）,则/e）的值为（）A. 1 B. C.坐 D.坐答案BTjr2冗解析 =P-Q】l=I（Pr, Q.分别为P,。的横坐标），T=-,=2；点P为最高点，代77T71jjr 兀、入 P 的坐标得y+3 = 2E+, kZ, = 2kt, kZ,又|研<,则 9=不火x）=sin（2x+w）制）=sin停唠=sin U，故选B.考点三三角函数的性质【核心提炼】函数 >,=Asin（x÷）（A>0,>0）的性质JI(1)奇偶性：3 =依(攵£2)时，函数y=Asin(5+s)为奇函数;9 = E+5(k£Z)时，函数y=Asin(x乙+夕)为偶函数.2兀三角函数的周期性：y(x)=Asin(x+p)和y(x)=4cos(x+p)的最小正周期为了；>,=Atan(x7T+夕)的最小正周期为G根据>,= sin t的性质研究y=sin(5+9)(>0)的性质：ITj由-5+2EW3+9<2+2E(ZWZ)可得增区间,由5+2%兀5"+3:7+2攵兀(2£2)可得减区间；由5+9=k(kWZ)可得对称中心；由0x+9=hr+3(&£Z)可得对称轴.例3已知函数y=cos6一2。把)，=段)的图象向左平移势单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()B. g(x)的图象关于直线尸割称C. g(x)的一个零点为俘。)7 5冗D. g()的一个单调递减区间为一五，答案D解析 因为段)=cos-2,=cos(2x-,所以 g(x)=co2(x+1)_U=cos(2x+§,所以g(3=cos普=一杀故A错误；令2x+=E,攵Z,得对称轴方程为尸与一吉 攵Z,故B错误；0212令2x+=k+亭攵Z,得对称中心的横坐标为尸与+为Z,故C错误；o 220一 兀 5兀一因为X 多区,故"=2x+J0, ,因为y=cos 在0,尤|上是减函数,故g(x)=cos(2x+§在今 言上是减函数，故D正确.(2)设函数凡¥)=小sin ox+cos <x(>0),其图象的一条对称轴在区间(袁，全)内，且7W的最小正周期大于兀，则。的取值范围是()A.& 1) B. (0,2) C. (1,2) D. 1,2)答案C解析 由题意得次x)=in gx+cos ox=2sin(x+*)(Q>0).令 5+看=，+女兀，Z,得 x+ l<<6+2,kZ.又火x）的最小正周期大于兀，所以了>兀，解得O<s<2,所以口的取值范 1 k f =茄+石ez,内，所以亲管+朱申所以弘o 5 5围是（1,2）.故选C.规律方法已知三角函数的单调区间求参数取值范围的三种方法（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解.（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解.（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过;个周期列不等式（组）求解.跟踪演练3 （1）（多选）（2020武汉模拟）已知函数U）=cos x| sinx,下列说法正确的是（）a. yu）是偶函数B.次工）是周期为兀的函数c. 7U）在区间（兀，苧）上单调递减d.火工）的最大值为5答案ABC解析 函数/U）的定义域为 R,由 y（-）=cos（一）-Rin- = cos x|sink=U）,知 "x）是偶函数，故 A 正确；j（x+）=cos（x+）sinx+=cosxsinxI =fi1x）所以於）是周期为兀的函数，故B正确；当x（,为时,«r）=-cosx+sinx=41sinG-Jj（x）在区间（兀，号）上单调递减，故C正确；当 0, 5时，U）=cos %sin x=也sin（-J一 11，当e（,兀）时，於）=一cosxsinx=一/sin（x+）（-1,1）.又於）是周期为兀的函数，所以7U）的值域为故D不正确.（2）（2020北京海淀区模拟）已知函数段）=也sin ox, （x）=2cos x,其中>0, A, B, C是这两个函数图象的交点，且不共线.当口=1时，Z48C的面积的最小值为；若存在4A5C是等腰直角三角形，则g的最小值为.答案2兀期解析 函数外）=陋sin cox, g（x）=y2cos x9其中m>0, A, B, C是这两个函数图象的交点.当口=1时，J（x）=y2sinx9 g（x）=也cosx,如图所示，一、单项选择题1.已知角a的终边过点p（3,8m）,4且sin a= 一不则根的值为（）专题强化练答案A解析 因为角。的终边过点P（3, 8”），所以 sin。一 ： <-<（）,9 + （8n）25解得tn = 一/1、1，,a 、，r-1 lcos a_2sin a2.已知直线3x y 10的倾斜角为,则.Jsin a÷cos aaiiciiic5A.j0B.2C.4D4答案D解析由 3xy1=0 得，y=3x-f tan a=3tcos a-2sin a4 cos a2sin acos a1 2tan a 1 2×3:. sin a÷cos a sin a+cos a tan a+13÷ 1/c
