十同一直线上的矢量的运算.docx

十二、同一直线上的矢量的运算本书中常常要处理同一直线上的矢量,这一节我们以力矢量为例讲一讲同一直线上的矢 量的运算，以备以后的应用。这里虽然是以力矢量为例来讲的，但对任何矢量都适用。矢量既有大小，又有方向。如果被运算的矢量在一条直线上，那么，我们就可以用一个 带有正负号的数值把矢量的大小和方向都表示出来。为此，我们沿着矢量所在的直线选定一 个正方向(图1-33),规定凡是方向跟正方向相同的矢量都取正值，凡是方向跟正方向相反 的矢量都取负值，例如图中尸 = 5N,尸2 = 5N,尸3 = 7N, F4=-5No这里，根据数值的正负 号就可以知道力的方向；而力的大小等于它们的绝对值，分别是5N, 5N, 7N, 5No选定的尸4 = 一5牛尸3=7牛H =- 5.牛拓=5牛重隽固图 1-33既然同一条直线上的矢量可以用带正负号的数值来表示,它们的运算就可以简化为代数 运算。如果两个矢量大小相等而且方向相同，如图1-33中的尸2和尸4,我们就说这两个矢量相 等，写成代数式就是F2=F4o (1)如果两个矢量大小相等而方向相反，如图1-33中的尸1和F2,那么，它们只是符号相 反，写成代数式就是Fi = -F20(2)如图1-34所示，设有两个力为和尸2作用在一个物体上，我们可以利用加法运算求出 合力F：F= Fi+F?= 10N+ (-6N)=4N0(3)这表示合力的大小是4N,结果是正值表示合力的方向与选定的正方向相同，即合力的 方向跟两个力中较大的那个力的方向相同。选定的H = - 6牛 E=IO牛 正方向尸=4牛图 1-34我们也可以利用减法运算求分力。如图1-35所示，已知合力方和一个分力尸1，那么， 另一个分力尸2：F?F Fi= 8N- (-3N)= IlNo(4)这表示尸2的大小是N,方向与选定的正方向相同。需要强调指出的是：只有比X直线上的矢底宣M的>>XMt>½ 运算。这是平行四边形法则在这种特殊情况下的运用。不在同一直线上的矢量，它们的运算不能这样简化成代数运算，仍必须按照平行四边形法则来进行。Fl= - 3牛尸=8牛选定的正方向图 1-35还要指出的是：这里用带有正负号的数值既表示出矢量的大小，又表示出矢量的方向； 如果专指矢量的大小，就要取绝对值，即矢量的大小总是正值。本章前面各节中的公式，如 公式f=kx,f=MF=Fi2+F22+2FiF2cos6>,F=Fi+F2 (6>=0o),F=Fi-F2 (8=180。)，等等都是关于力矢量大小的公式，利用这些公式来计算，其中的各力都取正值。例如用 尸=B一6来计算图1-34中的合力时，F = 10N, F2 = 6N, F=Fi-F2=4N,这与(3)式所 得结果相同。初学时概念上要弄清楚，熟悉起来以后，就可以根据物理思考灵活运用了。复习题(1)从力的性质看，力学中经常遇到的有哪几种力？这几种力的情况是怎样的？力可 以用哪两种方法来分类？为什么说；拉力、压力和支持力都是弹力？(2)胡克定律的内容是什么？写出胡克定律的公式。(3)怎样计算滑动摩擦力的大小？写出它的公式。(4)牛顿第三定律的内容是什么？为什么说作用力和反作用力不能互相平衡？(5)力的合成要按照什么法则来进行？这个法则的内容是什么？写出计算合力的大小 和方向的公式。(6)为什么力的分解和合成遵守相同的法则？ 一个力可以根据什么来分解它？ 一个力， 如果知道它的两个分力的方向，或者知道它的一个分力的大小和方向，那么，这个力的分解 有没有确定的答案？(7)什么叫矢量？什么叫标量？矢量和标量有什么不同？矢量加法要按照什么法则来 运算？(8)你自己总结一下应该怎样分析物体的受力情况。分析时应该注意什么？习题(1)如图1-36所示，为了防止电线秆倾倒，常在两侧对称地拉上钢绳。如果两条钢绳 间的夹角是60。，每条钢绳的拉力都是300N,求两条钢绳作用在电线杆上的合力。(2)图1-37表示用平行四边形法则求三个共点力厂i、F2、尸3的合力凡 先求出尸1和 尸2的合力，再求出这个合力与尸3的合力凡 改用三角形法求出这三个力的合力，改变求和 的顺序，再分别用平行四边形法则和三角形法求出这三个力的合力。(3) 20N、30N和40N的三个力作用于物体的一点，它们之间的夹角都是120。求合 力的大小和方向。(4)如图1-38所示，把一个重量为ION的物体挂在绳子上。已知AC=BC = 3m, CD = Imo求绳Ae和BC所受的拉力。(5)用手握着橡皮绳的两端，在橡皮绳的中间挂一个重物。当两手之间的距离增大或 减小的时候，物体对橡皮绳的拉力是否改变？怎样改变？实际做一下，并说明道理。(6)刀、斧、凿、刨等切削工具的刃部叫做劈，劈的纵截面是一个三角形，如图1-39 所示。使用劈的时候，在劈背上加力尸，这个力产生两个效果，这就是使劈的两个侧面推压 物体，把物体劈开。设劈的纵截面是一个等腰三角形，劈背的宽度是d,劈的侧面的长度是 I,可以证明:力=方=5 F。从上式可知，当尸定的时候，劈的两个侧面之间的夹角越小，d就越大，力和方就越 大。这说明了为什么越锋利的切削工具越容易劈开物体。试证明上式。劈的作用（7） 一个物体放在倾角为。的光滑斜面上，求物体受到的合力。解：放在斜面上的物体受到两个力的作用：重力G和斜面的支持力N （图1-40）。现 在已知N的方向，但不知道N的大小。我们把重力G分解为两个分力：平行于斜面的分力 方I = GSin仇 垂直于斜面的分力B = GcosOo这样，物体相当于受到GSin。、GCoS。和N这三 个力的作用。因为物体沿着斜面运动，在垂直于斜面的方向上不发生运动，所以垂直于斜面 方向的两个力N和GCOS。是互相平衡的，它们大小相等，即N=GCOS凡因此，物体受到的 合力的大小为GSin仇 方向平行于斜面向下。这里我们先把一个力分解，然后求出合力。这种方法以后我们还会用到。我们看到，放在光滑斜面上的物体，所受的合力实际上等于重力的一个分力GSin仇在 这个力的作用下物体将沿着斜面下滑。但是,如果斜面不是光滑的,或者物体还受到别的力， 合力将不再等于重力的一个分力GSin凡（8） 一个滑雪人沿着山坡滑下。滑雪人的重量是700N,山坡的倾角是30。，滑雪板和 雪地的滑动摩擦系数是0.04。求滑雪人所受的合力。