蒙日圆的定义、证明及其几何性质（学生版）.docx

蒙日圆的定义.证明及其几何性质微点1蒙日圆的定义、证明及其几何性质【微点综述】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆， 所以这个圆又被叫做“蒙日圆”.本微点主要介绍蒙日圆的定义、证明及其几何性质.1 .人物简介加斯帕尔蒙日（Gaspard Monge , 17461818 ）,法国数学家、化学家和物理学家.生于博 恩的平民人家.蒙日的一生励志又传奇，蒙日出身贫寒，但他自幼聪颖好学，自强不息，少 年时在家乡一所天主教开设的学校学习，后转学里昂，14岁时就能造出消防用的灭火机， 16岁毕业，留校任物理学教师.接着被推荐到梅济耶尔皇家军事工程学院学习，年仅22岁 就初创“画法几何学”，23岁时任该校教师.26岁时被巴黎科学院选为通讯研究员. 29岁时 任皇家军事工程学院“皇家数学和物理学教授” .34岁时当选为科学院的几何学副研究员.38 岁时被任命为法国海军学员的主考官.46岁时任海军部长8个月.51岁时任法国著名的综 合工科学校校长.72岁在巴黎逝世.蒙日所处的时代，人们在设计工程时由于计算失误而导致工程不符合要求，只好把已建成的 工事拆毁重建，而蒙日的画法几何方法就轻而易举解决了这类问题，不止如此，他的“画法 几何学''还推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，引导了 纯粹几何学在19世纪的复兴.此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓 越的成就.蒙日是19世纪著名的几何学家他创立了画法几何学推动了空间解析几何学的独立发展， 奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论,引导了纯粹几何学在 19世纪的复兴.此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就.他 的大炮制造工艺在机械制造界影响颇大.主要著作有：曲面的解析式（1755 静力 学引论（1788 画法几何学（1798 代数在几何学中的应用（1802 分析在几何 学中的应用（1805 ）等.2 .蒙日圆定义及其证明先来看一道高考题：例1 .(2014年高考广东理20)已知椭圆U*g=l(>b>0)的f焦点为(有,0),离 心率为乎.(I)求椭圆C的标准方程；()若动点尸(不，为)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹 方程.【解析】(】)可知。=有，又e = £ =或= *,/. = 3,从=/一。2 =9-5 = 4 ,故椭圆。的 a a 5标准方程为：+二=1 . 94()设两切线为44,当/Jx轴或4X轴时，对应4X轴或4 Ll轴,可知P(±3,2)或P(3,±2).当与r轴不垂直且不平行时，/*±3 ,设(的斜率为攵，则女工。，2的斜率为-;，4的 方程为)-为=(一%),联立f=,得(9d+4*+18Myo-K)X+ 9(%-5一4卜0 ,Y直线与椭圆相切，,A = O ,得(18)2(yo-)2-36(yo-)2-4(92÷4) = O,4(yo-)2-4(92+4) = O ,整理得(-9)-2xoyo + -4 = O ( * ), .4是方程(* )的T根，同理一是方程(* )的另 一个根，其中XoH±3 ,.点2的轨迹方程为炉+ 9=13(户±3),又6±3,2)或尸(3,±2)满 足上式.综上知：点P的轨迹方程为V + /=13 .【点评】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线 与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想 的灵活应用.例1中的圆是蒙日的画法几何学中有一个有趣的结论(可以形象的称为筷子夹定理)：【定理1在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1 .如图1 ,设椭圆的方程为。卷=1（稣匕>0）厕椭圆两条互相垂直的切线而，尸8交点唯 轨迹是蒙日圆：八丁=+从.证明：证法一（解析法+韦达定理）：当题设中的两条互相垂直的切线小, PB斜率均存在且不为。时，可设PaO，%） （XO士4且治工），过P的椭圆的切线方程为MX-X0），y-%=MXTO）（2工0）,由< 二+f= 得（ailc +Zj2）x2-2Azz2（x0 -y0）x+fl2（fcj -,y0）2 -a2b2 =0 ,由其判别式值为O ,得（片忒+ y：一从=O（片一/工0）,是这个关于A的一元二次方程的两个根，%L=2 ,由已知以，?尻，即屋3,=-1,二号冬=-1，芯+立=/+匕二点尸的坐标满足方程 + y' =a +b .当题设中的两条互相垂直的切线PA, PB有斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标为 （±4,。）或（,士力），此时点。也在圆Y + y1=+/上综上所述：椭圆， = l（>b>0）两条互相垂直的切线尸AdB交点产的轨迹是蒙日圆： i + y- =a +b .证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）：当题设中的两条互相垂直的切线姑，PB斜率均存在且不为。时，设P（%,%） （ %且 %工功）,切点A（X,）,B（z,%KVlAiy20）,则切线华+空=1,小岑+岑=1 .a bCr b线他的方程为青督=尸小，）在切线%/3上，了.学+$=1,竽+繁=1,由两点确定一条直线得直'MoB =机 3 =管 J% )(3% ) = 7,可得，（寸-码化i J（私机42）即在圆的方程为介I,又在直线居学+火山 + 2a2b2x0yJ +b4(x2-6f2) = 0二，4（'一片）_"'（片一/）.屋 E ）至£ = QZZ1又(PAPR )(k(MkOB ) =' PAPB由已知PA_LP&-.。（B=T ,2E = T,.£ + £=/+从， 点尸的坐标满足方程 Y + =2+ .当题设中的两条互相垂直的切线PA，PB有斜率不存在或斜率为。时，可得点P的坐标为（±a,b）或（,±b）,此时点尸也在圆/ + V=/+"上综上所述：椭圆J + = l（>>（）两条互相垂直的切线P4P8交点的轨迹是蒙日圆:X2 + y2 =a2 +b2 .先给出几个引理，然后给出证法三蒙日圆的几何证法.【引理I】（椭圆的光学性质）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线 交于椭圆的另一个焦点上（如图2所示）.证明：如图3所示，设P为椭圆（其左、右焦点分别是TE ）上任意给定的点,过点P作 /6PK的外角平分线所在的直线/（N3 = N4）.先证明/和相切于点P ,只要证明/上异于P 的点P'都在椭圆的外部，即证1用+PE>P耳+p周.在直线P匕上选取点尸，使 PFf = PF2 l 得P'PFqPFa咨P'P" ".PF = PF?,可得1制+P闾=P制+PU>耳Fl=山r+Pk=IP周+p闾.再过点。作NKPE的平分线 PA（Nl = N2）,易得尸A，/ ,入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.【引理2过椭圆（其中心是点O ,长半轴长是"）的任一焦点F作椭圆的任意切线/的 垂线，设垂足是H,则IoM = .证明：如图4所示，设点'I分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆厂的切线/上的切点， 又设直线尸”,FA交于点B .由引理1 ,得NaiH = NZAu = N84 （即反射角与入射角的余 角相等），进而可得AFAHBAH , J点H是FB的中点，得OH是MFF'的中位线.又 M=IAM , QM = g（IF+ AB） = g（IM+ A尸） = .【引理3】平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明：这里略去过程（可用余弦、可作垂线、可用坐标）.【弓任里4】设点尸是矩形ABCD所在平面上一点,则PA2 + PC2 = PB2 + PD2 .证明：如图5所示,设矩形ABC。的中心是点0 .由弓任里 3 ,可得PA2 + PC2 =2(OA2 +OP2) = 2(OB2 +OP2) = PB2 + PD2 即欲做立. 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等. 下面给出定理1的证法三.证法三(几何法)：不妨设"><U>O .当a = O时，易证成立.下面只证明a>b的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ,左、右焦点分别是小入，焦距是2c ,过动点P的两条 切线分别是PMJN .连结”,作。GJ_PM,O_L/W ,垂足分别是G".过点K作 £O_LPM ,垂足为。，由引理2得IOq=。.再作KK_LOG于K .记NOGK ，得 IDGl=旧用= CCOSe .由 RtAOOG ,得困?二囱2 TDGI2 =/ cos2g 又作 F2ELPN,F2LlOH 垂足分别为乙L.在RtB田中，同理可得： IOM2 =IOEI2 T时=a2.c2sin26, .(I )若PMsN ,得矩形OGPH ,Iozf =2+O2 =(a2 -c2cos2<9)+(a2 -c2sin2<9) = a2 +b2(2 )若QH2 =a2 +b2 ,得IOH2 =3 -/8/6) + (/ -c¾n) = oc2 +阿2 , 由 OGJ.尸例，得|0叶=IoGI2+gp2 , .GP = Q川.同理，有Ioq=I期，四边形OGP是平行四边形，进而得四边形OG/77是矩形，, PMSN .由(1 )( 2 )得点P的轨迹方程是x2 + = + bl以上过程中的，分别是椭 圆长半轴、短半轴长.证法四(高等几何法)：蒙日圆的另一种叙述：中心为。的椭圆外切矩形ABCD的外切圆圆心也为。，作椭圆的两条 平行切线分别交圆。于4,。，/ U ,则蒙日圆性质可以表示为A0及C'。'与椭圆相切.证明：4。，"C'与椭圆相切且平行，由对称性知四边形AQeTy也为矩形.设 M,N,K,Q均为矩形ABCQ与AbCT)'的边边交点(如图7), BWl DA = P .逆推:要证A0与椭圆相切U六边形NDQMKR的布列安桑定理U B'Q KD MN = SU- 对红色三角形笛沙格定理= ?£/KQ ( KMHDN , MQu一对绿色三角形笛沙格逆 定理(KQ/BDt/B1D ) U BB'H PM/IJyDUA = = 6 (成立).3.蒙日圆的几何性质：【定理2】过圆.八9=/+62上的动点尸作椭圆5. + % = 1(。力0)的两条切线如，心， 则.证明：设。点坐标优，%),由J / h2 ，得 y_y()= MXTo)(2÷Z,22-22(-y0)x+(0-y0)2-2=0 ,由其判别式的值为 O , 得(X -/)公一2xfiy0k + ylb2 =0-a2 ),. % ,即“是这个关于人的一元二次方程的两个根，犷&m=±5 , * + £=/ + /, y2 -b2%=±=，pa±pb .【定理3】设夕为蒙日圆0：/ +y=/+上任一点，过点P作椭圆E + = 1的两条切线， a b交椭圆于点A,凤。为原点，则。P,AA的斜率乘积为定值bp3s=-4 . a【定理4】设夕为蒙日圆0：/ +V=/+"上任一点，过点P作椭圆+ £ = 1的两条