极值点偏移问题判定定理（学生版）.docx
极值点偏移问题判定定理极值点偏移问题判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数y=（）,在区间a）上只有一个极大（小）值点小，方程AX）=O的解分别 为A , X? , S,axix2b l（1）若再）2%-9），则（）% ,即函数.v =八幻在区间（XM）上极（小）大 值点与右（左）偏；（2）若&）"2/F）,则%（v） ,即函数y = （x）在区间上极（小）大 值点.%右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数y =/（幻，在区间（&）上只有一个极大（小）值点,则函 数幻的单调递增（减）区间为S,%）,单调递减（增）区间为（与向，由于。"W" 有不小,且,又f（%）V FQa0-A2）,故王（）2%-，所以甘殳（）/， 即函数极（小）大值点%右（左）偏；（2 ）证明略.左快右慢(极值点左偏=，<工产)左慢右快(极值点右偏。?>日玉)二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1.方法概述：(1 )求出函数/(X)的极值点与；(2)构造一元差函数尸3 = /(玉+幻-，(%-幻;(3)确定函数八X)的单调性；(4 )结合尸(O) = O ,判断尸)的符号,从而确定/十*f()的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2抽化模型答题模板：若已知函数Ax)满足/区)=/U2),将为函数/(幻的极值点，求证：M +W V 2x0.(1 )讨论函数/的单调性并求出/5)的极值点；假设此处/3在(-8,%)上单调递减，在(，内)上单调递增.(2 )构造/(X) =/(%+幻一/(与一幻；注：此处根据题意需要还可以构造成尸&)= /。)-/(2%-*的形式.(3 )通过求导F (X)讨论尸的单调性，判断出尸(X)在某段区间上的正负，并得出了(% + x) 与/(%一用的大小关系；假设此处尸(X)在(0,÷)上单调递增，那么我们便可得出。)>尸()= /(/)-/(/)= 0 ,从 而得到：X>/ 时,/(+)>/(X0-X).(4 )不妨设N << ,通过f的单调性,/($)= /(), f (% + %)与f (xq-x)的大小 关系得出结论；接上述情况，由于x>时，/( + )> f(x0-x)S,xl <xq<x2 , ,) = (x2),故U1 ) = f(x2)= f + U2 -)> /xo-(2-vo)l = /(2%o - W),又因为X < X。，20 - < X。且 f()在(-,X0)上单调递减，从而得到.V1 <2x0-x2 i从而x1+2 <2%得证.(5 )若要证明/(七三)<。,还需进f 寸论手与XD的大小，得出手所在的单调 区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为%+/ <2% ,故土产<与，由于在(-8.)上单调递减，故 0【说明】(1 )此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2 )此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求/O)的单调性、极值点，证 明/(% +幻与/(X07)(或/()与/(247)的大小关系；若试题难度较大，则直接给出 形如天+当<2°或r(W1)<o的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为 三问逐步解题.三、对点详析,利器显锋芒1 .已知函数/3 = KfaeR).(I )求函数/(X)的单调区间与极值；(II )若内 ½ ,且fa) = f(X2),证明：%+电 >2.2 .函数/(x) = f与直线y = (>-g)交于Aa,)、8(%，。)两点.证明：芭+<2. 23 .已知函数0) = -lnx ,若司工毛，且A%) = /®),证明：X+W>4. X4 .已知函数/(x) = (x-2)e+(x-有两个零点.设为，是外”的两个零点，证明：X1 +X2 <2.四、招式演练5 .已知函数/'(%) = ( +InX-3有两个零点X- x2 (xl<x2).(1 )求证：0<a<e2 ；(2 )求证：xi + x2 > 2a.6 .已知函数/(X) =21nx(« /?,« 0).(1)求函数/W的极值；(2 )若函数/W有两个零点不，/(% </),且a = 4 ,证明 :x1 + X2 > 4.7 .已知函数/(x) = x-2Hu-1 + l , R. X(1 )讨论函数/(”的单调性；(2)当 = l 时，正数 4 ,满足 Fa)+ "F) = 2,证明:x1+x22.8 .已知函数/(x) = lnx + H* -2r,eR .(1 )讨论/("的单调性；(2)若f(x)在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数Xm ,使得/(内)+ /(Z) =-3 , 证明：x1+x2 >2.9 .已知函数f(x) =与3 O). e(1 )求函数/U)的单调区间；(2 )当 = l时，如果方程/*) = /有两个不等实根与，求实数/的取值范围，并证明x1 +2 >2.IO .已知函数/(X) = InA奴(。为常数).(I )求函数“)的单调区间；(II )若a>0 ,求不等式/(力-的解集；(In)若存在两个不相等的整数X-满足/a""声),求证：司+电>>H .( 1 )试比较2法与A*>0)的大小.X(2)若函数/") = X-仇LM的两个零点分别为七, X2 ,求?的取值范围；证明：+ 2 < 2m .12 .已知函数/(x) = (32-6x+6)e'-J ( e为自然对数的底数).(1 )求/S)的图象在E处的切线方程；(2)求/*)的单调区间和极值；(3 )若K产七，满足f(，)= f(X2),求证：i+2 <0 .13 .设函数/(x) = l-"x.(1 )证明:xR , f(x)x ；(2)令MX) = X(I-/)求 W的最大值；如果内HX2 ,且Wx)=4(%),证明：+>2.14 .已知函数f(x) = x-l + e'(1 )讨论的单调性；(2 )设中占是/(x)的两个零点,证明： x1 + X2 > 4 .15 .设函数/(x) = x2-(。-2)x-lnx .(1 )求函数/O)的单调区间；(2 )若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数。的值；(3 )若方程/*)= C有两个不相等的实数根/ , X-求证：-)>0 .16 .已知函数F(X) = V-(eR)在(0,y)上有2个零点4、%(%</) . (1 )求实数。的取值范围；(2)证明：-V1+x2 >4 .17 .已知/(x) = In(X+M-nvOeR)求/V)的单调区间；(2)igm>l ,在与为函数/O)的两个零点，求证：.xx+x2 <018 .已知函数，(©=111苍以外=+反一1,(。f bR)X(1 )当= - 1 ,加0时，求曲线产於)-g(x)在x=l处的切线方程；(2 )当公。时，若对任意的.rl , 2,於)+g(x)O恒成立，求实数a的取值范围；(3 )当6f=0 z h>0时，若方程yw=g(x)有两个不同的实数解Xl , X2X1<X2),求证：X+X2>2.19 .已知函数f(x) = lnx+；-S(S"R).(1 )讨论/U)的单调性;(2 )当f = 2时，若函数/(x)恰有两个零点,(O< <9),证明：%>4.20 .已知函数f(x) = l-以+xlnx.(1 )若函数/(x) = l-+Enx的图象与X轴有交点，求实数的取值范围；(2 )若方程/(X)=；有两个根*,恐且$<看 ,求证：-v+>l21 .( 1 )试比较2版与的大小.X(2 )若函数f(%) = %-/"-m的两个零点分别为X- x2 ,求"?的取值范围；证明：百十七<2"?.
