恒成立与存在性问题（学生版）.docx

恒成立与存在性问题恒成立与存在性问题 专题阐述：无论是不等式的证明、解不等式.还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问 题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是 一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.考法一：不等式恒成立问题【规律方法I不等式恒成立问题常见处理方法：分离参数”(x)恒成立(x)g可) 或(x)恒成立(x)mm即可)；数形结合(y = "x)图象在)，= g(x)上方即可)； 最值法：讨论最值/()而0或/(XLX o恒成立；讨论参数.例1 .已知函数/(M = Inxq 若“力VY在(l,«o)上恒成立厕。的取值范围是【答案】a-【解析】恒成立的不等式为Inx-q<f ,便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 Xlnx-<x2 <=>xlnx-ax3 <=>xlnx-x3 ,其中Xe(I,+00)'只需要八卜也工-丁)、， (x) = xn x-x3(x) = l÷lnx-3x2 (导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将InX变为1 ,所 X以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定g (x)的符号，不妨先验边界值)0) = -2 , g"(x)_6x =上更<0 ,(判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化 XX判断的过程)g (力在(l,+)单调递减，g'(x)vg'(I)Vong(力在(Lgo)单调递减g(x)<g =T.a-【点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符 号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点 (边界点，零点)等确定符号.2-x-2 x<4例2.已知函数/(x)=，若存在2私MwR ,且X<X2<W ,/(x1) = (2) = (3),使得中2(w)()恒成立,则实数。的取值范围是g log223,+<?)【解析】作出图象，如图所示，设/&) = /(9) = 玉)=乙则问L2) 3=r, x2=4t.令g() = XrVa),则g(f) = (4T) = T:4/ ,所以g'() = -3+8z = r(8-3f),所以当问1，2)时，g'(f)>O ,所以g(r)在口,2)上单调递增，所以当问时，3g(f)<8 , 所以/()8 ,所以由函数/(“图象可知2"-158 ,所以log"3.例 3 .已知函数 f ( X ) =2sinx - xcosx - x , fr(x)为 f(x)的导数.(1 )证明：F(X)在区间(0 , )存在唯一零点； (2 )若X W 0 , 时,f ( X ) >ax ,求a的取值范围.【解析】(1 ) ,(x) = 2cosx-sx+xsin%-l = cosx+xsinx-1令g(x) = 8sx+xSinX-I ,则g'(x) = -SinX+sinx+XCoSX = XCoSX当Xt(O,乃)时，令/() = 0 ,解得：x = j当le(0,J时，(x)>0 ;当 .g()在(Om上单调递增；在(/)上单调递减又g(0) = lT=0 , g(9q>° ' g(%)=一1一1 = 一2 即当时，g(%)>0 ,此时g(x)无零点，即(“无零点g图g<。.加呜,万)，使得g(y)=o又g()在，上单调递减x = %为g(x),即f'(x)在(，乃)上的唯一零点综上所述：尸(另在区间(0，1)存在唯一零点(2)若x0,句时,f(x)ax ,即/(力-如0恒成立(x) = (x)-or = 2sinx-xcosx-(6 + l)x贝"(x) = 8sx+xsinx-l- , /f (x) = xcosx = g'(x)由(1 )可知，“(X)在(0段上单调递增；在上单调递减且"(O) = F ,=，h,() = -2-a"(%="(1)=一2-，(XLX="图当-2时，hx)in=h) = -2-a0 ,即0'(x)0在0,句上颉立 . /(%)在0,句上单调递增/.(x)(0) = 0 , gp(x)-rO ,此时/(x)u皿立当一2v0时，/(0)0 , J>O , h,()<0加e停乃)，使得K) = O()在MX)上单调递增，在(%,同上单调递减又(O) = O , (乃)=2Sin 乃一万COS万一( + l)乃= -drO(x)0在0,句上期立,即/G)3立当0<<一时，/<0 ,"图=W-"。f),使得“(%) =。.(x)在0,2)上单调递减,在卜2卷)上单调递增.X(0,%)时,A(x)<A(O) = O ,可知f(%)欧不恒成立当 4 一时，(Ha=(x)在(Oe)上单调递减 (x)<力(O)= 0可知/(x)之以不恒成立综上所述：6(-oo,0【针对训练】1 .已知关于X的不等式/ cos X2-/在F釜)上恒成立，则实数，的取值范围为A . 3,+oo)B . (3,+oo)C . 2,+)D . (2,+oo)2 .已知函数/0) = 1若不等式/(x)，.恒成立，则实数，的取值范围为 X -JX+ Zl X < 1 kA . -3-22,-3 + 22B . -3 + 22,C . -3-22,D . (-,-3-22u-3 + 22,+oo)3 .已知函数/( X ) =ex+l-anax+a ( >0 ).(1 )当斫1时，求曲线)可(x)在点(1,7(1)处的切线方程；(2)若关于X的不等式/(x) >0恒成立，求实数。的取值范围.考法二：不等式(方程)有解(能成立)问题规律方法根据导数的方法研究不等式能成立问题，一般可对不等式变形，分离参数，根 据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也 可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结 果.例4 .已知函数“) = Cge'+半J-X若存在实数m使得不等式/("z)2f成立， 求实数n的取值范围为()A . f,-3 U L+) B . (-,-lu -,+JC . (-oo,0u p+ D . (-co,-g U 0,+【答案】A【解析】由/(X)= 皿/+半/_工，求导，r") = d + (0)x-l ,当 = 时，r()=r()+(o)-1,则”0)=1,当X=O时"=纳=1 ,则,=e, e.(x) = et+2-x ,则 r(x) = e ,令MX) = e'+x-1 , JJ(j/«x) = e' + l>0 ,函数MX),即/。)单调递增，令 r)=o,解得：=o,当r(x)>O时,解得：x>0 , /(x)单调递增；当尸(力<0时，解得：x<0 , /(X)单调递 减， 当X=O时，可取得极小值，极小值为"0) = 1 ,J()的最小值为1,若诙实数n1使彳环等式/(m)2，贝!|22“(x)min=l ,则2/一一io ,解得：zz或.;,即实数n的取值范围是(yo, . l,+),故选：A .例5 .已知函数”x)的导函数为(力，且对任意的实数X都有/'(x) = eT(2x + 3)-"x)(e 是自然对数的底数)，且"0) = 1 ,若关于X的不等式/U)-，<()的解集中恰有两个整数， 则实数W的取值范围是( )A . -e,0) B . -。，0) C . (-e,0 D . (-e2,【答案】C【解析】f'(x) =等-f(x)即er(x)+f(切= 2x+3 ,所以e"(切'=2x + 3 ,贝Mf(X) = X2+3x+c ,所以f(X)=二学S ,因为"0) = 1 ,所以F(O) = = C = I，=(2x+3)eA-e*(2+3x+l) -(x2 +x-2 -(+2)(x-1)由，(力>0得-2<xvl ,止匕时/(x)单调递增，由广(力<0得X<2或Ql ,此时/(x)单调递减，所以X = I时，/U)取得极大值为/=* , e当 = -2时，取得极小值f(-2) = -<o,又因为/(I) = "。，f() = l>0, -3)= ">0 ,且 >l 时，/(x)>0 ,/(x)<()的解集中恰有两个整数等价于/ (X)=+；+在V=根下方的图象只有2个横 坐标为整数的点，结合函数图象可得：则/(T)<mW0 ,解得一e<m0 ,所以一evm<0时，/(x)<0的解集中恰有两个整数-1，-2 ,故实数，的取值范围是(w,0故选：C【点睛】/("-相<。的解集中恰有两个整数，需求出丸)解析式，所以对已知条件/(x) = *(2x + 3)-/(x)变形可得卜"' = 2x + 3 即打(X) = X2 + 3+c 结合"0) = 1 可求出/O) = ",?+1 , /()-m<0的解集中恰有两个整数等价于/(X)=立>!在 ee丁二，下方的图象只有2个横坐标为整数的点,对“力求导数形结合即可求出实数，的取 值范围.例 6 .已知函数 f(x) = -fllnx-+ ax,a e R. x(1 )当a<0时，讨论f(x)的单调性；2(2 )设g(x) = /(X) + ?'(幻，若关于X的不等式g(x) -+y+-l)x在1,2上有解,求 的取值范围.【解析】(I)由题意知，/(幻=，_空4+/_卞_1), X XX令"(X) = (Or-力*-1),当v时，or-，<O恒成立，当 x>l 时，F(x) < O , gp,(x)>O ;当 OVXVl 时，F(x) > O l ff,(x)<O ;，函数/在(O, D上单调递增,在。，S)上单调递减.IxCl XX _ X 、(2)因为g(x) = /(X)+才(X) = FInX+ ax+x；Fa -anx-ex + 2ax-a tX X Jr2由题意知，存在小或2,使得出。)泊+争(4-1区成立.2即存在XOW1,2,使得一nXo + ( + l)Xo-。成立；2 r 令?(X) = FlnX+ ( +l)x-,x1,2,、-a ,(x-)(x-1) r c,. h (x) =Fa+ 1 X =,X w 1,2 lXX当时，对任意y,2,都有*)o f函数心)在工2上单调递减，"(x)min i= -ln2 + 0成立，解得O , .O ;当l<“<2时，f(x)>O ,解得lv< ;令"(x)VO ,解得<<2 ,函数/心)在UM上单调递增，在。，2上单调递减，