方程与方程组.docx
中考总复习：方程与方程组一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数!考试目标： 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程. 会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程方程中的分式不超过两个. 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.复习策略： 复习本专题时把握住转化的数学思想：化多元为一元，化高次为低次，化分式方程为整式方程.方程的变形要 依据等式的根本性质.知识考点梳理.认真阅读、理解教材，尝试把以下知识要点内容补充完整，假设有其它补充可填在右栏空白处。详细内容请参看网校资源ID： tbjx3241874M¾考点一：等式性质1 .等式的两边都加上(或减去)同一个整式，结果仍是等式.2 .等式的两边都乘以同一个数，结果仍是等式.3 .等式的两边都除以同一个不等于零的数，结果仍是等式.考点二：方程及相关概念1 .方程定义含有未知数的等式叫做方程.2 .方程的解使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).3 .解方程求方程的解的过程，叫做解方程.考点三：一元一次方程1. 一元一次方程定义只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.2. 一元一次方程的一般形式：x+ = 0( 0)3. 解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化成1； (6)检验(检验步骤可以不写出来) 考点四：二元一次方程组1 .二元一次方程组定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.2 .二元一次方程组的一般形式：:W = Ga2x÷y = C23 .二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法.考点五：分式方程1 .分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2 .分式方程与整式方程的联系与区别：分母中是否含有未知数.3 .分类：(1)可化为一元一次方程的分式方程；(2)可化为一元二次方程的分式方程.4 .解分式方程的一般步骤：(1)去分母，化为整式方程：把各分母分解因式；找出各分母的最简公分母；方程两边各项乘以最简公分母；(2)解整式方程.(3)检验(检验步骤必需写出来).把未知数的值代入原方程(一般方法);把未知数的值代入最简公分母(简便方法).(4)结论确定分式方程的解.考点六：一元二次方程1. 一元二次方程定义只含有一个未知数，且未知数的次数是二次的整式方程叫做一元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式：x2 +bx÷c = 0( 0)3. 一元二次方程的解法：(1)配方法1)通过配成完全平方式的形式来解一元二次方程的方法称为配方法.2)用配方解方程的一般步骤：化1:把二次项系数化为1 (方程两边都除以二次项系数)；移项:把常数项移到方程的右边；配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；变形:方程左边写成完全平方形式，右边合并同类；开方:求平方根；求解:解一元一次方程；定解:写出原方程的解.(2)公式法：1)一元二次方程：°+>+c=°e°),2/ X =(6 -4cO)当V-4acN0时，它的根是2a2)用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(SOlVing by formular).3)用公式法解题的一般步骤：变形:化方程为一般形式；确定系数:用a, b, c写出各项系数；计算：/一物的值；代入:把有关数值代入公式计算；定根:写出原方程的根.(3)因式分解法：1)当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式 的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：化方程为一般形式；将方程左边因式分解；根据“两个因式的积等于零，至少有一个因式为零”，转化为两个一元一次方程；分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.考点七：一元二次方程根的判别式我们知道:代数式/- 4四对于方程的根起着关键的作用.X=七H当川-4w>0时，方程"+6"C = OgWQ）有两个不相等的实数根“'2W当/-4叱=O时，方程尔+6x+c = 0（。w。）有两个相等的实数根口 - 2a ；当从一4公<0时，方程°万+6方+c = O（w 0）没有实数根.所以我们把从一4把叫做方程4/+,X+c = "a N °）的根的判别式，用“”来表示，即 = 2 -Aac.考点八：列方程（组）解应用题的一般步骤：1 .审:分析题意，找出已、未知之间的数量关系和相等关系.2 .设:选择恰当的未知数（直接或间接设元），注意单位的统一和语言完整.3 .歹U：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程（组）.4 .解:解所列的方程（组）.5 .验：（有三次检验是否是所列方程（组）的解；是否使代数式有意义；是否满足实际意义）.6 .答:注意单位和语言完整.经典例题一一自主学习认真分析、解答以下例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反 三。假设有其它补充可填在右栏空白处。更多精彩请参看网校资源ID： #jdlt0#241874类型一：一完一次方程例1.1）假设（机-2）XW一3=5是关于X的一元一次方程，那么m的值是（）A. ±2 B. -2 C. 2 D. 4（2） （2010年台湾省）有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2： 3,甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4： 5,假设甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，那么乙桶内的果汁最多可装满几个大纸杯？（）（A） 64（B） IOO（C） 144（D） 225。举一反三：【变式1】关于X的一元一次方程（V-I）+ （左l）x 8 = 0的解为例2.解方程:x + 1 X 3x-l11J =X ；23635 r(2) - - (-l)-2-2x=3.5 3 4解:举一反三：【变式1解以下方程1 8-9x=9-8x;,、3-2x 1 x + 23) X= I(2) H 如±1 = 1；68,、4x-l.5 5x-0.8 l.2-x=0.50.20.1解:(1)14。类型二：一元二次方程例3. (1) (2010年安徽芜湖)关于X的方程Q 5)f4x1 = 0有实数根， 那么a满足A. aNlB. a>l 且 (a5 C. a21 且 a5D. a54 9(2)： 3是关于X的方程一%22 + l = 0的一个解，那么2a的值是() 3A. 11 B. 12 C. 13 D. 14举一反三：【变式1】X=I是关于X的方程2? +依片=0的一个根，那么a二.解：【变式2关于X的一元二次方程x2-(k+l)-6=0的一个根是2,求方程的另一根和k的 值.解：例4.按要求解一元二次方程.2+4x+4二1直接开平方法)解：(2) 6x2-7x+1=0配方法)解：(3) 5x+2=32公式法)解：(4) (-2)-4 1因式分解法)解:例5.11) (2010广东广州)关于X的一元二次方程ab2x3+hx÷l = 0( 0)有两个相等的实数根，求( - 2尸+从-4的值。12)关于X的方程X2 -kx+k-2=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定举一反三：【变式U假设关于X的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+l=0没有实数解，求ax+3>0的解集 用含a的式子表示.解：类型三：二元一次方程组例6.方程3+32yj，= 15是一个二元一次方程，求m和n的值.解：举一反三:【变式1】以下方程组中，是二元一次方程组的有哪些？(2x-y = r7y = 2z 1；Vx+ y = 3盯=2，3<'y % ZZ2 32x + 3j_£ 2=5(3x-y = 3L6 ；1 ,一+ y = 6X2, 卜+解:f3x + 4y = 2 例7.方程组 7 的解为).2x-y = 5x 2x-rx-3(A) (B) (C)以上答案均不对y = 2Ij = -Iy = 解：举一反三：x 2【变式1】1是方程3x-ay-2a=3的一个解，求a的值.y =一2解：IX = I【变式2】【烟台)写出一个解为的二元一次方程组.y = 2例8.解方程组.f2x + 3j = -9 3x + 2y = 13,5x-y = 33x-2y=5解:J3x + 5y = 25,4x + 3j = 15解：举一反三：y2 = 4%(x1 = X1 H = %2< < 一 一【变式1】方程组U = 2% + 的两组解是bl =月和为=乃且x/1 01 1m =1XlWX2 ,设 “1"2 O1求的取值范围；2试用含的代数式表示出机；3是否存在这样的值，使机的值等于1?假设存在，求出所有这样的值，假 设不存在，请说明理由。解：类型四：分式方程例9.以下方程中哪个是关于X的分式方程?A . 2(x + 5) = 5-3xx+2 _ 2a-X 5 3x-l- J 2x2x CD. = 3% + 5例10.解分式方程.二2% + 1解:彳24(3)解方程：x +2 ?-4 解：例IL方程二-X +1 X 20=O无解,求m的值.X x-r解:举一反三:3 S【变式1】关于X的方程一J 二的解是非负数，求a与b的关系.2x+ a 4x + /?解:【变式2】如果试求A、B的值.A B 2x+l 1- x-3 x + 4 (x-3)(x + 4)解:2 X jjiI【变式3】方程 =1 + ，是否存在加的值使得方程无解？假设存在,% % -Xx-1求出满足条件的机的值；假设不存在，请说明理由。类型五：方程及方程组的应用例12.近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息,帮小明计算今年5月份每升汽油的价格.例13. 11） （2010福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和 售价如下表：（注:
