专题07导数与隐零点问题（讲）【解析版】公开课教案教学设计课件资料.docx

XXX热点、难点突破篇专题07导数与隐零点问题(讲)真题体验感悟高考1. (2021xx高考真题(理)已知O且1,函数/(x) = h(x>0). ax(1)当 = 2时，求/(x)的单调区间；(2)若曲线y = ()与直线y = l有且仅有两个交点，求。的取值范围.【答案】(1) 高 上单调递增； *f 上单调递减；(2) (l,e) (Gy).【分析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；(2)方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线y = ()与直线y = i有且仅有两个交点等价转化为方程 T=等有两个不同的实数根，即曲线>=g()与直线y=邛有两个交点，利用导函数研究g(%)的单调性， 并结合g(x)的正负，零点和极限值分析g(x)的图象，进而得至发现这正好是O<g()<g(e),然 a e后根据g (%)的图象和单调性得到的取值范围.、X2 、2x2-x2212 x2(2-x12)【详解】(1)当 =2时，/(%) = *"(%) =所=不，令/(九)=0得X =三,当0<x<三时，/)>0,当三时，r(x)<O, In 2In 2')In 2函数/(可在。，W 上单调递增； *，+ j上单调递减；(2)方法一【最优解】：分离参数f(x) = - = l<>ax = xa OjdnQ = qlnxo= 设函数= axX aX贝=,令/(力=。，得X = J在(0,e)内g'(%)>O,g(x)单调递增;在(e,+)上gx)<O,g(x)单调递减；g(x)s = g(e) = J又g=0,当X趋近于+时，g(x)趋近于0, 所以曲线y = ()与直线y = 有且仅有两个交点，即曲线y = g()与直线y = 有两个交点的充分必要条件 是 0< 等 < J这即是 O<g()<g(e),所以的取值范围是(Le) (,+).方法二：构造差函数由y = ()与直线y = 有且仅有两个交点知/() = ,即Xa=优在区间Q+)内有两个解，取对数得方程 “lnx = xln.在区间(0,+s)内有两个解.构造函数仪%) = 4111%-1114,%£(0,+8),求导数得Ina= CI Xma .当 OVaVI 时，111。<0,无6(0,+00),一无111>0,/(X)>0,以X)在区间(。,+8)内单调递增，所以，g(%)在(0,+oo)内最多只有一个零点，不符合题意；当 l>l 时，ln>0,令 g'(九)=。得 X 二二，当 x,号时，gf(x) > 0 ；当 x(三,+00时，gf(x) < 0 ；所以， Ina V InaJIInQ )函数g(%)的递增区间为。，4，递减区间为. V InaJIInq )由于0<e ce a =-l-e 6z ln<0 ,InQ I J当x+时，有"lnx<xln,即g(x)<O,由函数g(%) = ln-%1口。在(。,+内有两个零点知: 二 卜 n：I1 I > 0 ,所以 ->e,即 a -eln1>0.Una) I Ina )Ina构造函数以。)=。-ela,贝J (。) = 1-£ =,所以人(。)的递减区间为(1,。)，递增区间为仁+，所以 a aMa)%e) = 0,当且仅当 =e时取等号，故力> 0的解为a>l且a e .所以，实数。的取值范围为(l,e)u(e,+).方法三分离法：一曲一直曲线y = /(%)与y = 1有且仅有两个交点等价为二=1在区间(。,+)内有两个不相同的解.a因为Xa=优，所以两边取对数得alnx = xlna,即InX = 山，问题等价为g(x) = Inx与夕(X) =里吧有且仅有 aa两个交点.当0<a<l时，电3<0,p(x)与g(x)只有一个交点，不符合题意.a当l>l时，取g(%) = Inx上一点(瓦，ln%),g'(X)=Lg(XO) = L,g(x)在点国,ln0)的切线方程为y-lnx0 =-(-0), gp y = -x-l + lnx0. 当 y = 'x-l + lnxo 与 P(X) =Xlna aIna _ 1 为同一直线时有< a InXo-I = 0,直线夕(X) = 皿的斜率满足：0<皿<!时，g() = inx与夕(%)=里吧有且仅有两个交点. aa e，记加)=叱,方=匕坐，令旗)=0,有a = e.。日10/()>0,4(4)在区间(1,。)内单调递增； aaa (e,+),/l (a)<0,h(a)在区间® +S)内单调递减； = e时，h(a)最大值为g(e)=-,所当>l且ae时有 eCln 410< <-. a e综上所述，实数的取值范围为(Le)D(e,+).方法四：直接法AXT(Xxa1(a-xlna)因为%>0,由尸(X) = O得X =二.Ina当OVaVl时，八九)在区间(O,+s)内单调递减，不满足题意;由1(x)<0得x>片"在Ina当>l时，->0,由/'(x)>0得0<x<3"(x)在区间,f 内单调递增, InalnaIInaJ区间,+内单调递减.aIna>1,(In a)t即 JInaQn a)a,a Ina > 1 ,IIna )因为A")=。，且吧(%)二°,所以/ 八一r-rX>U两边取对数，得(1一一-l> In(Infl),即 ln-l> In(Ina). I na)令Ina =/,贝卜l>ln,令(x) = lnx-x+l,贝|/(%)=工1,所以z(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间(l,+)内单调递减，所以以X)%(D = 0,所以-lln%,则r-l>ln的解为£Wl,所以Ina1,即e.故实数。的范围为(l,e)u(e,+).【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较 难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结 合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.方法三：将问题取对，分成g(x) = Inx与夕(X)=里吧两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率 a与一次函数的斜率比较得到结论.方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.2. (2019全国高考真题(文)已知函数/ (X) =2sin-XCOSX-%, f (X)为/ (X)的导数.(1)证明：f (%)在区间(0, )存在唯一零点；(2)若x0,兀时，f (x) >ax,求Q的取值范围.【答案】(1)见解析；2) ) (o,0.【分析】(1)求导得到导函数后，设为g(x)进行再次求导，可判断出当工。口时，/a)。，当Xez 时，(x)<0,从而得到g(x)单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；(2)构造函 数/7(力=/(力_依，通过二次求导可判断出(x)mm="(r) = -2-a, z'()InaX=言一Q；分另U在.-2, 2<W0, 0<。<亍和"亍的情况下根据导函数的符号判断MX)单调性，从而确定MX) 0恒成立时 的取值范围.【详解】(1) /'(x) = 2cosxCOSX+xsinxI = COSX+xsinx-lg(x) = Cosx+jcsin jc-1,贝IJ g'(x) =sinx+sinx +xcosx = XCOSX当x(0)时，令/() = 0,解得：XJi 当 X时，/(x)>0;当 X1z时，(x)<0.g(x)在g上单调递增；在色，"上单调递减又g(0) = l-1 =。，gm = 1-l>° ' g(") = TT = -2即当m时，g(x)>o,此时g(x)无零点，即广(%)无零点g图 g<0 3x° g已小使得g (%)二°又g(x)在J"J上单调递减 = %为g(),即r(%)在，口上的唯一零点 综上所述：广在区间(U)存在唯一零点(2)若x0,同时，/(x)tx,即/(x)-依0恒成立z(x) = (x)-0r = 2sinx-xcosx-(+l)x贝IJ zf(x) = cosx+xsinx-l-, /f(X) = XCOSX = g'(x)由(1)可知，(可在上单调递增；在上单调递减且z'(0) = -,hr() = -2-a " (X)IA = =-2 一 , (X)InaX = 0=芋-。当 a-2时，hx)mn=h) = -2-a0,即(x) 0在0,句上恒成立.(x)在0,句上单调递增.(x)() = O ,即 /(x)-O,此时/(x)0r恒成立当2<W0时，'(0)0, /。，.%,),使得(Xl) = O.(x)在0,王)上单调递增，在(4句上单调递减又z() = 0, z(r) = 2sin-cos-a-l = -a0. M%) 0在0,可上恒成立,BP(x)一恒成立当0<。<时，r(0)<0,. 3x2 0, ,使得/(%) =。.MX)在。,)上单调递减，在卜，3 上单调递增.X(0,尤2)时,M%)<M。) =。,可知/(X) GT不恒成立当GN分时，)mj"C) =言j0."(X)在。，外上单调递减 hx)< Zz(O)= 0可知x) 依不恒成立综上所述：a(f,0【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为 恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过 导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.3) (2019全国高考真题(理)已知函数X) = InX.%-1(1)讨论人x)的单调性，并证明大x)有且仅有两个零点；(2)设Xo是“¥)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(Xo, Inxo)处的切线也是曲线y = e的切线.【答案】(1)函数/(%)在(0,1)和(1,+上是单调增函数，证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)对函数AX)求导，结合定义域，判断函数的单调性；(2)先求出曲线y = ln%在A(X(PInXo)处的切线/,然后求出当曲线y = /切线的斜率与/斜率相等时，证明曲线 y = /切线/'在纵轴上的截距与I在纵轴的截距相等即可.【详解】(1)函数/的定义域为OU)U(L+),Y + 1V2 + 1Z(X) = Inx人=八2,因为函数，的定义域为(0,1)d(1,+8),所以/'(x)>0,因此函数/(九)在 X-I%(x-l)(O, D和(1,