专题15导数的概念及运算（解析版）公开课教案教学设计课件资料.docx

专题15导数的概念及运算知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：导数的概念题型二：导数的运算题型三：求切线方程题型四：求参数的值(XX)题型五：导数与函数图象题型六：与两曲线的公切线有关的问题培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.2 .通过函数图象，理解导数的几何意义.3 .了解利用导数定义求基本初等函数的导数.4 .能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5 .能求简单的复合函数(形如次依+/?)的导数.【考点预测】1 .导数的概念如果当以-0时，平均变化率总无限趋近于一个确定的值，即卓有极限，则称尸治)在X=Xo处可导，并把这个确定的值叫做y=U)在X=XO处的导数(也称瞬时变化率),记作尸(XO)或y'k*g,1. Av1 /(jo ÷)/(jro )orlIimP(xo)=ALCx. (2)当X=Xo时，/(xo)是一个唯一确定的数，当X变化时，y=(x)就是X的函数，我们称它为y="x) 的导函数(简称导数)，记为了(x)(或y),即/)=y=f (x+x) f (X)Iim.xOX2 .导数的几何意义函数尸治)在X=XO处的导数的几何意义就是曲线尸治)在点P(X。，/Uo)处的切线的斜率,相应 的切线方程为y一届)= I(XO)(X一次).3 .基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数<X) = C(C为常数)=Q<X)=XQ(QQ, 0)f(x) = axa1fix) = sin xf(x)=cos X/(x) = cos Xf(x) = sin. Xf(x)=ax(a>0 且 l)f(x)=axln a於) = e，/()=ef(x)=logax(a>0 且 l)了-xln aXx)=In X=4 .导数的运算法则若了,/(©存在,则有:/(x)+g(x)r=f(x)±g,(x)；/(x)g(x)r=(x)g(x) + Kx)g'(x)；/ (x) f (X) R (X) )(X) 0 (X)'=r < 】2(g(x)0);Lg JRg (X)9求切'=必!.5 .复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数和"=g(x),如果通过中间变量小y可以表示成X的函数，那么 称这个函数为函数与"=g(x)的复合函数，t己作y=(x).(2)复合函数y=(g(x)的导数和函数"=g(x)的导数间的关系为y=36即y对X的导 数等于y对"的导数与"对X的导数的乘积.【常用结论】l(xo)代表函数火X)在X=XO处的导数值；(Axo)'是函数值式XO)的导数，则(AXO)'=0. 1 1 f 33 .曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4 .函数)=火%)的导数/(%)反映了函数八工)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 ra)i反映了变化的快慢，Ifa)I越大，曲线在这点处的切线越“陡” .【方法技巧】1 .求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2 .抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3 .复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.4 .求曲线在点P(X0,州)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点 斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于X轴，切线方程为X=Xo.5 .求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道, 要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.6 .处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解 出参数：切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；切点在曲线上，故满足曲线方程.7 .利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.二、【题型归类】【题型一】导数的概念【典例1】已知函数z(x)=-4.9x2+6.5x+10.计算从=1到X=1+的平均变化率，其中%的值为2；1；0.1； 0.01.(2)根据中的计算，当AX越来越小时，函数Zz(X)在区间1, 1+Ax上的平均变化率有怎样的变 化趋势？【解析】(l)Vy=z(l+x)-z(l)=-4.9(x)2-3.3x,y=-4.9-3.3.当 x=2 时，竽=4.9Ax3.3 = -13.1；当 Ax=I 时，竽=4.9Ax3.3 = 8.2；当 x=0.1 时，/=4.9Ax3.3=3.79；当 x=0.01 时，t= -4.9%-3.3= -3.349.(2)当%越来越小时，函数z(x)在区间1, 1+%上的平均变化率逐渐变大，并接近于一33【典例2利用导数的定义求函数"x)=-x2+3X在x=2处的导数.【解析】由导数的定义知，函数在x=2处的导数/(2)=lin(2+AXL2) xOAa而式 2+Ax)/(2)=(2+x)2+3(2+x)-(22+3X2)=(Ar)?一%,(Ax ) 2 AX于是y (2) = P 耳晨=lim(-%-1)=-1.AxOLsXxO【典例3】已知八%)在次处的导数/(xo) = h求下列各式的值：f (Xo) f (xo-x) W ；f (xo÷x) / (Xo-x)(2) Iim7.' 7O X，版G小八次）-f （xo-x）=了（次），【解析】M XO- （xo-x）日m f(%°)_于(Xo_©) %、7 即兴I晨 Tdf (M) f (Xo-x) k.*. Iim=.xo2x2.j (XO+%) 于(Xo-Ax)Q) * (xo+x) (Xo-Ax) (xox) f (Xox)2x,为函数«x）在区间皿一Ax, XO+x上的平均变化率./.当 x-0 时,于(XO+%) 一于(XO-Ax)2x,必趋于/（犬0）=鼠f (xo÷x) / (Xo-x).*. Iimx2x=k,f (M)+x) f (Xo-x).*. Iimx%= 2k.【题型二】导数的运算【典例1】（多选）下列求导运算正确的是（）A.T、Jnxxln2xB. (X2e%)' =2x+e%C. COS(2%-划，=sin2- d"), =1+【解析十）=一含（1口%）/=- 故A正确;(A%y =(x2÷2%)ex,故 B 错误；COS(2元一§ ' =2sin(2x故 C 错误；(Xj, =1+2，故 D 正确.故选AD.【典例2】函数八工)的导函数为/，若次O=V+/ sinX,则/弓)=.【解析】/ (x) = 2%+/ (jCOS X,V）=+【典例3】已知函数/ （x） = e%sinx+e%cosx,则次2 021）一火0）等于（）A. e2021Cos 2 021B. e2021sin 2 021eC，2D. e【解析】因为/ (%)=exsin%÷excosx,所以火X) = e'sinx+左(左为常数)，所以人2 021)-0) = e2021Sin 2 021.【题型三】求切线方程r) 1【典例1】曲线在点(一1, 3)处的切线方程为. I N【解析】y =仔=2WD=3,所以"j=fr5,所以切线方 程为 y+3 = 5(x+l),即 5xy+2 = 0.【典例2】已知函数"x)=xln -若直线/过点(0, -1),并且与曲线y=(x)相切，则直线/的方 程为.【解析】丁点(0, 1)不在曲线兀V)=Xln/上,，设切点为(X0, yo). XV/ (x) = l+lnx,二直线I的方程为y+l=(l+lnxo)x.yo=xolnxo,由.解得 JrO= 1, yo=O.jo+1 = (1 +ln JlO)X0,二直线/的方程为y=xl,即Xy1=0.14【典例3】已知曲线尸点3+点求满足斜率为1的曲线的切线方程；求曲线在点P(2, 4)处的切线方程；求曲线过点P(2, 4)的切线方程.【解析】(I)V=X2,设切点为(X0,州)，故切线的斜率为左=X8=1,解得XO=±1,故切点为(1,(1, 1).故所求切线方程为y-=xl和yl=x+l,即 3x3y+2=0 和y+2 = 0.14(2) V/=x2,且尸(2, 4)在曲线 y=F3+g上，.在点PQ, 4)处的切线的斜率k=y2=4.,.曲线在点P(2, 4)处的切线方程为y-4=4(%-2),即 4-y-4=0.设曲线y=$3+g与过点p(2, 4)的切线相切于点AG0,又;切线的斜率左=yx=xo =,切线方程为y=%(-),4- 3十君2-3点F(2, 4)在切线上，.24.4 = 2x-pr+,即 x83+4=0, .x8+x34+4=0,j(xo÷1)-4(xo÷l)(xo-1)=0,/.(xo +1 )(xo2)2 = 0,解得 XO=- 1 或尤o=2,故所求的切线方程为4-y-4 = 0或xy+2=0.【题型四】求参数的值(范围)【典例1】直线y=丘+1与曲线t(x)=QInX+8相切于点P(l,2),则20+8等于()A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【解析】:直线y="+1与曲线危)="lnx+Z?相切于点P(1,2),将P(l,2)代入 )=丘+1,可得上+1=2,解得Z=I,Y fix)=cnx+b, . f (X) =,由/ (l)=f=L解得 =l,可得"x) = lnx+O,P(l,2)在曲线兀O=InX+ 上，i) = ln 1+6 = 2,解得。=2,故 2+0=2+2=4.【典例2】已知於)=lnx, g(x) = 22+mx÷(m<0),直线/与函数«x), g(x)的图象都相切，与兀V) 图象的切点为(1,火D),则加=.【解析】/ =1， 直线/的斜率左=T (1) = 1.又火1)=0,切线的方程为y=x1.g' (x)=x+m,设直线/与g(x)的