看清问题实质方能正确的解决问题（剖析古典概率常见错误）..docx
看清问题实质方能正确的解决问题初学古典概率问题由于没有掌握古典概率的两个重要特征，以及对概念、性质掌握模糊，常常出现下面的错误， 下面就具体剖析。一.分不清有序、无序产生错误例1、从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任选两台，求两种品牌都齐全的概率。错解：从5台中任取2台，所有结果有5X4 = 20种，记事件A为“一台为甲型另一台为乙型，甲型从3台中取1台，乙型从2台中取1台，故事件A所包含的根本领件数为3X2 = 6 ,所以P(A) = £20 IO剖析：上面的解法由于没能分清有序还是无序，导致出现重复计数，所以出现了重复计算错误，其实，从5台 中任取2台，按顺序(x ,y)记录结果，x有5种可能，y有4种可能，但x ,y和y ,x是相同的，所以 试验的所有结果应是5X4÷2 = 10种。5×4正解：从5台中任取2台，所有结果有 =10种，记事件A为“一台为甲型另一台为乙型，甲型从 233台中取1台，乙型从2台中取1台，故其包含的根本领件有3X2 = 6种，所以P(A) =例2、从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为【】21错解：P甲.应选B.6 3剖析：根本领件总数求错，这是错把选出的两个人看成有序造成的，即将所有的根本领件看作6个，认为甲、 乙)与乙，甲是根本领件中的两种，事实上，甲、乙)之间没有顺序，故这里的所有根本领件为甲、乙、 甲，丙、乙、丙，此处不分顺序。正解：由上面分析知，根本领件共3个，甲被选中的事件有2个，依等可能性事件的概率的求法知，甲被选中2的概率为P甲=,应选C.3二.放回与不放回例3. 一个盒子里有点数分别为1 ,2 ,3 ,4的4张牌，有放回的连续抽取两次，求“两张牌点数之和不小于6 的概率。错解:所有的根本领件可以表示为：(1,1) (1,2)(1,3)(1,4) (2,2)(2,3) 2父 旦父 国父(4,4)根本领件共有10个，其中符合题意的如划线所示，共有4个。所以P(两张牌点数之和不小于6的概剖析：此题是放回抽样，而错解是按照不放回抽样求解的，实质上两种抽样区别很大，不放回抽样与放回抽 样的区别主要表达在以下四个方面：(1)不放回抽样是指每次抽出样品不放回，下次再抽样时，样品结构发生变 化，总数比前次少一；而放回抽样是指每次抽出的样品放回，下次再抽样时，样品结构和总数保持不变(2 ) 对不放回抽样来说：事件A= "不放回地逐个取k个样品与事件B= "一次任取k个样品”的概率相等，即P(A) =P(B)；而对放回抽样来说：事件A二 "放回地逐个取k个样品与事件B= "一次任取k个样品的概率一般是 不相等的，即P(A)P(B) . (3)不放回抽样不可重计数；而放回抽样可重计数.正解：从4张卡片中任意抽出一张卡片，放回后再抽出一张卡片，其所有可能的结果组成的根本领件空间为： = 1,1 ,1,2 ,1,3 ,1,4) ,2,1 ,2,2 ,2,3 ,2,4 ,3,1 ,3,2, (3 ,3 ，3 ,4 ，4 ,1 ，4 ,2 ，4 ,3 ，4 ,4,共 16 个根本领件.其中事件发生的个数包括:(2,4) ,(3,3),(3,4) ,(4,2), (4,3) , (4,4)共有6个。所以P(两张牌点数之和不小于6的概率)=- = -o16 8三.对根本领件有关概念理解错误例4、在猜拳游戏中，每人出示的手势有三种：石头、剪刀、布，甲、乙、丙三人进行 猜拳游戏，试问战成平手的概率是多少？错解：甲、乙、丙三人每人可出示3种手势，故共有33种可能。三人战成平手是指出31示相同的手势，故战成平手的概率为P = F =剖析:上述错解是对实际问题的理解致误，实际上三人战成平手是指三人出示相同的手势或都出示不同的手势。正解：甲、乙、丙每人可出示3种手势，故共有33种可能。三人战成平手是指三人出示相同的手势或都出示不同的手势，故共有3 + 3X2Xl = 9种可能。故战成平手的概率为四.无视古典概率的等可能产生错误例5、设口袋中有大小相同，除颜色外完全相同的黑球和白球各2个，现从口袋中随机地取出两个小球，求取 出的两球是“一黑一白的这一事件的概率。错解：因为口袋中的小球是大小相同，除颜色外完全相同的2个黑球与2个白球，所以取出的两个小球的可能 为：黑黑、白白、黑白、白黑四种情形，即根本领件数为n = 4 ,其中取出的小球是“一黑一白的事件数为m =2 ,故有古典概型的计算公式可得：出现“一黑一白的这一事件的概率为P = ± = * = ±.n 4 2剖析：外表上看此题的解答中似乎无懈可击，其实此题的答案是错误的，错因在于无视了使用概率公式 P(A) ='的前提条件是事件A发生是等可能的，而此题解答中的“一白一黑是不等可能的。n正解;所以总的情形应有：“黑1黑2、“白1黑1、“白2黑1、“白2黑2、“白1黑2、“白1白2 六种情形，因此所求事件的所有可能情形有n = 6种，其中取出的两个小球是“一白一黑的事件数为m=4种，HZ 42即n = 6 ,m=4 ,故其概率应为JP = =一.n 6 3例6.在两个袋内分别装有标记数字O ,1 ,2 ,3 ,4 ,5的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，求所得两数 之和等于7的概率。错解：从每个袋中任取一张卡片，共有6X6=36种可能，记“所得两数之和等于7为事件B,那么事件B中包21含2个根本领件即2+5二3+4=7),故所求概率为。(与)=.36 18剖析：上面的求解在计算两数之和为7的事件个数时，无视古典概率的等可能性，即错误认为事件B中包含2 个根本领件，实际上是四种情况，即2 ,5k 5 ,2k 3 ,4)、4 ,3)。正解：此题的根本领件为从两袋中取出的卡片上数字组成有序数对，共有"6X6=36对，从而事件B中包含的4 I根本领件应为：2 ,5k 5 ,2k 3 ,4)、4 ,3),即m=4 ,故所求概率为P(5)=.n 36 9
