概率论教案课程.docx

第一章随机事件与概率第一节随机事件教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事 件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。教学内容：1、随机现象与概率统计的研究对象随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。2、随机试验（E）对随机现象的观察。特点试验可在相同条件下重复；试验的所有可 能结果不只一个，但事先已知；每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事 先不知。3、基本事件与样本空间（1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样 本点，用表示。（2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本 空间，用。表示。4、随机事件（1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C 等表示。（2）随机事件的集合表示（3）随机事件的图形表示必然事件（。）和不可能事件（E）5、事件间的关系与运算（1）包含（子事件）与相等（2）和事件（加法运算）（2）积事件（乘法运算）（3）互斥关系（4）对立关系（逆事件）（5）差事件（减法运算）6、事件间的运算规律（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律教学时数：2学时作 业：习题一 1、2第二节 概率的定义教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的 计算方法；了解概率的基本性质。教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。教学内容：1、概率用于表示事件A发生可能性大小的数称为事件A的概率，用P（A）表示。2、古典型试验与古典概率（1）古典型试验：特点基本事件只有有限个；所有基本事件的发生 是等可能的。（2）古典概率，在古典型试验中规定P（A） - A中含的基本事件数=卜Q中基本事件总数F3、几何型试验与几何概率（1）几何型试验向区域G内投点，点落在G内每一点处是等可能的，落在子区域G1内（称事件A发生）的概率与G1的度量成正比，而与G1的位置和形状无关。（2）几何概率。在几何型试验中规律定P（A）=iiG的度量4、频率与统计概率(1)事件的概率设在n次重复试验中，事件A发生了 r次，则称比值C为在这n次试验 n中事件A发生的频率，记为/(A) = Cn(2)频率的性质O(A)1; () = 1; 0 A() = 0; A5 =时，(A + B) = A(A) + (B);©随机性：r的出现是不确定的；稳定性：fn(A)P 5)(3)统计概率，规定P(A)=P(4)统计概率的计算p(A) (n 很大)n5、概率的基本性质从以上三种定义的概率中可归纳得到：(1) OP(A)1;(2)尸(Q) = I(3)尸(。)=0(4)若 AB二 0,则 MA+ 5) =尸(A) +尸(8)教学时数：2学时作 业：习题一 4、7、8、11第三节概率的公理化体系教学目的：掌握概率的公理化定义及概率的性质；会用概率的基本公式 求概率。教学重点：概率的公理化定义；概率基本公式。教学难点：用概率基本公式计算概率。教学内容：1、概率的公理化定义(1)为什么要用公理定义概率数学特点；深入研究的需要；是第二节中三种特殊形式的扩展。(2)定义设A为随机试验E中的任何事件，如果函数P(A)满足公理一(范围)OP(A)1;公理二(正则性)P() = 1;公理三(可列可加性)。若可列个事件a2,44两个互斥，则OOOOp(X) = p(4)n-n=l则称P(A)为事件A的概率。2、概率的性质从公理出发，可以严格证明性质1：尸(O) = O性质2：若事件A4两两互斥，则p<4) = t尸(4) n=ln=l性质3：对任何事件A, P(A) = I-P(A)性质 4：若AU民则P(A-B)=P(B)-P(A)性质 4' P(B A) = P(B - A) = P(B) - P(AB)注： P(A 百)=P(A - B) = P(A) - P(AB) B P(A) P(B)性质 5 P (A+B) =p (A) +P (B) -P (AB)注：性质5对任意有限个事件情况可以扩展教学时数：2学时作 业：习题一15、16第四节 条件概率，乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式教学目的：理解条件概率的定义和概率的乘法公式、全概率公式、贝叶 斯公式。使学生掌握条件概率和概率的乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式的 应用。教学重点：条件概率、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。教学难点：条件概率的确定，用全概率公式和贝叶斯公式计算概率。教学内容：1、条件概率(1)实际问题中要确定在某事件已发生时，另一事件的概率，看书以。例，在具体问题求条件概率。(2)定义：若P(B)>O,称P(AIB) =P(AB)P(B)为在事件B发生的条件下事件A的条件概率。2、概率的乘法公式(1) P(AB) = P(B) P(AjB)= P(A)P(BA)(2) P(ABC) = P(A)P(BA)P(CAB) RAA2 4) = JP(A)P(A2AI)P(A3区出)P(AMA2 Aj3、概率的全概率公式与贝叶斯公式看书P23。例3分析和解决看两公式的实际背景。(2)定理1设事件A2,A34两两互斥，且P(Az) > O (i = 12”),对于任何事件B,若±4 nB,则有 z=lp(B) = fp(4)p(B4)(全概率公式) z=l(3)定理2 ,定理1中的事件中，又P(B)>O,则有P(Am)p(BAm)= -(m=l, 2,")(贝叶斯公式)p(A)7,(ba.)1=1教学时数：2学时作 业：习题一 12、14、17、18第五节独立试验概型教学目的：掌握独立性的概念。会判断数乘的独立性并进行概率计算； 掌握贝努里概型，会用二项概率公式计算概率。教学重点：事件独立性的概念，具有独立性的事件但相应的概率计算， 贝努里概型与贝努里概型意义的正确理解。教学内容：1、两事件的独立性定义1 对任意两事件A, B,如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B相互 独立。2、两事件独立的性质若事件A与B独立，则事件A与否，：B,，与后都相互独立。3、三事件的独立性定义 2 设有事件 A、B、C,若有 P(AB)=P(A)P (B)、P(AC)=P(A)P(C). P(BC)=P(B)P(C),则称事件A, B, C,两两相互独立；又,若 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A B, C相互独立。4、n个事件的独立性定义3、设有事件AA,44,若P(A)P(&)p(4J其中,"/)为(1,2,)中任意S个不同的数。(s = 2,3,)则事件4,4，44相互独立。5、独立情况的概率公式定理L设事件4/2,44相互独立，则 P(A) = P(Az) z=lz=l(2) P(A) = 1-P(A) z=lz=l定理2、若事件ABC独立，则A+R AB. A-5分别与。独立。6、贝努里概型(1)贝努里试验：只有两个结果(A和X)的试验。P(A) = p,P(A) = q,O<P<l,p + q = l(2) 重贝努里试验：把同一个贝努里试验独立地重复次。也称贝努 里概型。7.二项概率公式在重贝努里试验中，时间A恰好发生上次的概率为Pn(k) = C1 pk q"-k,k = a,l,2,教学时数：2学时作 业：习题一 19、23、26、27、28第二章随机变量及其分布第一节 随机变量与分布函数教学目的：掌握随机变量的概念，并利用其表示随机事件，掌握随机变 量的分布函数的概念和性质。教学重点：随机变量的概念；随机变量分布函数的定义及其性质。教学难点：对随机变量及其分布函数的正确理解。教学内容：L随机变量的概念(1)引入随机变量的目的深入研究随机试验；求概率；整体描述随机试验。(2)定义定义1、设随机试验的样本空间为。，若VgO,有一个实数式G)与之对应，则其G)称为随机变量，并简记为自。2 .事件的表示(1)对J的取值加上<、>、=、£形式的限制条件。(2) S为一个数集。S3 .概率分布(1)随机变量占取得概率的点及其数量的分布情况。(2)可用J的概率分布确定J表示的事件的概率(3)两个大的类型：离散型随机变量与连续型随机变量4 .分布函数(1)定义2、设有随机变量3 对于任何实数X ,称概率PCVX)为随机变量的分布函数。记为尸(X) =尸C)(-<< +)(2)分布函数的几何意义落在数轴X点左侧(含X点)处概率的数量。(3) a <b,P(a<<b) = F() - F (a)5 .分布函数的性质(1) OF(%)1(2) F(-) = O,F(+) = 1(3)方(X)是单调不减函数，a<bF(a)F(b)(4)方(X)是右连续函数，即VKWX + O)=/(X)教学时数：2学时作 业：习题二5第二节离散型随机变量及其概率分布教学目的：掌握离散型随机变量的概念及其概率分布的几种表示方法； 掌握四种常见的离散性分布。教学重点：离散型随机变量的概率分布；0-1分布、二项分布、泊松分 布、超几何分布四种常见分布。教学难点：正确理解概率分布；四种常见分布与所描述试验的对立性。教学内容：1 .离散型随机变量如果随机变量J的所有可能取值只有有限个或可列个，则称J为一个离散型随机变量。2 .概率分布.取值:Xl,%，七，(1)图形表示(2)公式表示尸 C = Xj = P, 1 = 1,2,(3)表格表示3 .概率分布的基本性质(1) Pi0,i = 12-OO(2)Pi=iz=l4 .确定概率PCWS) = Ep,xi < S5 .求分布函数F(X) = EPj (阶梯型函数)xi<x6 .常见的离散型分布(1) 0-1分布(2)二项分布(3)泊松分布(3)超几何分布教学时数：2学时作 业：习题二 3、6、7、9第三节连续型随机变量及其概率密度函数教学目的：掌握连续型随机变量及其概率密度函数的定义；会求概率； 掌握均匀分布和指数分布。教学重点：连续型随机变量；概率密度函数；均匀分布和指数分布。教学难点：正确理解概率密度函数教学内容：1 .连续型随机变量及其概率密度的定义(1)说明当随机变量取值充满某区间时，象离散型情况那样给出概率分 布的不可行性。(2)连续取值随机变量的概率(线)密度P(x<x + x)F(x + x)-F(x)/(%) = Iim= Iim= F (X)xo+ xxo+ Ax(在分布函数F(X)的可微点处)(3)定义设随机变量J的所有可能取值充满某个区间，如果