微专题1 切割线放缩 (1).docx

微专题1切割线放缩【知识拓展】函数的凸性与切割线放缩：(1)下凸函数：如图1,对于函数火X),若在其图象上任取两点A(Ja, K), Bg >2),除端点外，线段AB始终在函数式X)的图象的上方，在火X)的图象上任取点 C(xo,>o),函数次X)在点。处的切线y=/(xo)(xXO)+HXO)除切点外，始终在HX) 图象的下方，我们称HX)为下凸函数，满足广(X)NO的函数八%)为下凸函数.对于 下凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)(xo)(-xo) +xo),当X£(», X2)时，f(XI)f(X2).夫 X)W工(X-Xi)+Xxi).(2)上凸函数：如图2,对于函数火X),若在其图象上任取两点A(Ja, K), Bg >2),除端点外，线段AB始终在函数火X)的图象的下方，在火X)的图象上任取点 C(xo,>o),函数次X)在点。处的切线y=/(xo)(xXO)+HXo)除切点外，始终在八工) 图象的上方，我们称八工)为上凸函数，满足广(x)W0的函数HX)为上凸函数.对于 上凸函数，可利用切割线进行放缩，f(x)(xo)(x-xo)÷xo),当九(xi, X2)时，类型一切线放缩证明不等式例1 (2023武汉质检)已知函数兀T) = e%-2.求曲线HX)在x=l处的切线方程；心 I ( 2 e ) 1 1(2)求证：当QO时，- lnx+l.(1)解由题设得了 (x)=e2羽.f (1) =e1-2×l=e-2,>V (I) =e1,所以曲线次x)在x=l处的切线方程为厂< I)=AI)(D，即 y=(e-2)x+l.I ( 2 e ) Y 1(2)证明 要证当x>0时，NInX+1,即证 ex+(l e)-xln-1 O,因为<O) = 1，且曲线八%)在x=l处的切线方程为y=(e-2)x+l.故可猜测：当QO且xl时，<工)的图象恒在切线y=(e2)x+l的上方,下面证明：当 x>0 时，/(x)(e-2)x+l,设 e(x) =f(x) (e2)x l(x>O),贝 1J ¢9r(x) = ex-2-(e2),令 F(x) = f(x), Fr(x) =ex-2,当x(0,加2)时，F(x)<0, “(X)单调递减；当 x(ln2,+8)时，F(x)>0, d(x)单调递增，又“(0) = 3 e>0, "(ln2)<0, O<ln 2<1, "(1) = 0,所以存在xo(O, 1),使得"(x)=0,所以当 x(0, xo)U(l,+8)时，x)>0;当 x(xo, 1), ,(x)<O9故画幻在(O, xo), (1,+8)上单调递增，在(xo, 1)上单调递减，又夕(0)=0(I)=0,所以e(x) = e%-2-(e-2)-lN0(当且仅当x=l时取等号)，,ex+ (2 -e) -l故 X(X>0).设 ZL(X) =-ln Xl(x>O), tf(x) =1,当 x(0, 1)时,f(x)<O, CX)单调递减,当x(l,+8)时，f(x)>0, CX)单调递增,所以 r(x)min = r(l) = O,从而有/(x) =-In-1 0即XNlnX+1(当且仅当X=I时取等号).所以吐WiN到nx+l,即 J -NlnX+1(当且仅当x=l时等号成立).规律方法 切线放缩证明不等式的原理：HX)N/切Ng(X)或火X)WgWg(X).训练 1 已知/(x) = e%+cos 2x÷2x2÷-2.求八工)在x=0处的切线；(2)求证：/(x)ln(2x÷l).解 由题意知/=e%2sin 2x+4x +1,则/(0) = 2,而<O) = 0,所以八工)在x=0处的切线方程为y0 = 2(-0),即 y=2x.(2)证明 因为<O)=0,且曲线八工)在X=O处的切线方程为y=2x,故可猜测，HX)的图象恒在切线y=2x的上方，先证人X)N2%,令 g(x) =f(x) 2x=ex+cos 2x+2x2x2,贝IJ gr(x) = ex-2sin 2x+4-1,g"(x) = e%-4COS 2x+4>0 恒成立，g'(x)单调递增，又 g'(0)=0,易知g(x)Ng(O) = O, (x)N2x(当且仅当x=0时等号成立).再证 2xNln(2x+l),令 z(x) = 2-ln(2x+1 )x>, 八 2 4xzr(x) = 2-2+1=2+r令 hf(x)=O9 解得 x=0.当 QO 时，/r(x)>0,则z(x)在(0,+8)上单调递增；当一T<x<O 时，zr(x)<O,则g)在13, 0)上单调递减，所以 z(x)z(O) = O,即2xNln(2x+l)(当且仅当x=0时等号成立)，综上火犬)Nln(2x+l)(当且仅当x=0时等号成立).类型二切线放缩求参数例2若e%-2xln-A-lN0对任意实数x>0都成立，求上的取值范围.e" 1解 由 e*2xln%一自一120,得左W一 21nx,ex-1l+ex (X-I) 2x设 (x) =X 21n x, ,(x) =J,令(%) = 0,得 l+e%(x1) 2x=0,.e12-r=0,x-l记夕(犬)=e%-2-犬，则 %>1 时,e(x)单调递增，XfI 时,e(x)<O, x=2 时,e(%)>0 设其根为X0,则XOe(1, 2),所以(X)的极值点在x=l附近.e* 1因此考虑在x=l处进行切线放缩，而y=在x=l处的切线为y=x+e-2,e%所以有NX+e2,即 z(x)x+e2 21n x.X2设 z(x)=-21nx+e2, hf(x)=l9可得z(x)在x=2处取最小值，(2) = e-21n2,即 e-21n 2.，左的取值范围为(一8, e-21n 2.规律方法 利用切线放缩求参数范围：可先分离参数，然后找到所设函数的极值 点范围后运用切线放缩.训练2已知函数八X) = ex-5一1,(1)若直线y=x+o为«x)的切线，求的值；(2)若对x(0,十8),恒有八工)三陵，求的取值范围.解(1)设直线y=x+与曲线兀r)相切于点(X0, yo),因为/(x) = e%一%,则 /(%。)= exo-xo=l,解得 Xo=0,则 yo="xo) = O,即 0+o = 0,解得 4 = 0.(2)因为式0) = 0,且曲线«x)在x=0处的切线方程为y=x.故可猜测八工)的图象恒在切线)=%的上方，先证当 (0, +)Bf, >),元2即证当九£(0,+8)时，ex-lO,设 z(x)=ex-y%l(x>O),则 h,(x)=ex-l,设 P(x) = hf(x) = ex-1,则 P,(x)=exl9因为P(X)>0在(0,+8)上恒成立，所以"(X)在(0, +8)上单调递增，又因为Zf(O)=O,所以当 x(0, +8)时,h,(x)>09所以z(x)在(0, +8)上单调递增,所以 (x)>z(O)=O,所以 ex-y%1>0,即 ex-yl>x,由此可得只需X三法即可.解得类型三切线夹的应用例3 (2023南京调研)已知函数火X) = (Xl)ln(x+l),曲线 >=段)在点(1, 0)处的 切线方程为y-kx-b.(1)求左，6的值；(2)证明：f(x)kx+b;若函数g(x)=7(X) +皿加GR)有两个零点XI, X2,证明：出一X2W1一加一百1(I)M 函数八无)的定义域为(1, +o°),X 1/(x)=ln(x+l)+干，/(I) = In 2.所以切线方程为y=l 2(-l),即4=In 2, b= -In 2.(2)证明 设 z(x)=(x)-Ax-=(-l)ln(x+l)-xln 2+ln 2,2 zX%)=ln(x+1)V7÷ 1 In 2.I - -L人2令 F(x)=hf(x)=ln(x÷ 1) 1 +1-In 2,12则-X)=干+EP>°'所以F(X)单调递增，即加(X)单调递增.又勿(I)=In21 + 1ln2=0,所以当e(1, 1)时,"(x)<0,函数加幻单调递减；当 x(l, ÷oo)0f, zf(x)>O,函数 z(x)单调递增，所以 l(x)min = Zl(I) = O,即 Z(X)O,所以 f(x) xln 2In 2.(3)证明g(x)=/(X)+mOR)的两个零点XI, X2,即为八¥)=一加的两根，不妨设 X1<X2,由题知，曲线y=(x)在(1, 0)处的切线方程为y=xln2ln2,令 9(x)=Jdn 2In 2,即 (x) + m=0,即(x) = -m的根为X2,则”一备，由(2)知，J(X2)(P(X2),(x2f) =fix2) (x),矶%)单调递增,X2rX2.设曲线y=Hx)在(。，0)处的切线方程为y=*),*7(0)=-h r() = -,设方程 t(x)+m=0,即 t(x)=-m 的根为 xf,则 xf=m9令T(X)=/一心)，同理由(2)可得Ta)N0,即火X)三七)，Xx) /(x),.*. t(xif) =(xi) ZL(XI),又NX)单调递减，.*.x<x,. X2 Xll=X2XlWJr2' Xl,m=1一根一麻规律方法1.一般地，给出函数的表达式，证明关于函数零点差的不等式(无等 号)，可以考虑切线夹技巧来解决.2.切线夹的本质是把两零点利用切线的零点来放缩不等式.训练3已知函数/(X) = (X+l)(e%-l),若方程兀T)=加有两个实根Xl, X2,且九<X2,证明：A：2Xllm (1- 2e)1e证明 如图，设«x)在(一1, 0)处的切线方程为y=z(x),由/(x) = Q:+2)e%l,易得，/z(x) = gl)(x+l),令 F(x)=x)-z(x),即尸(X) = (X+l)(e%l) gl)(x+l), F(x) = (x+2)e-,当x-2时，斤(X) = (X+2)ex- <0,当%> 2时，则尸(X) = (x+2)e%一1单调递增，又尸(一1) = 0, e所以当X<一1时，F(x)<0,当 x>-l 时，F(x)>0,所以函数尸(%)在区间(一8, 1)上单调递减，在区间(1,+8)上单调递增,故 F(X)2F(1) = 0, >)z(x),/Tie设 z(X)=根的根为 1/,则 X1'= -1+丁7，且 A(XI')="D三力(X1)，又函数Zi(X)单调递减，故',又设八工)在(0