必修三北师大版第三章概率.docx

必修三（北师大版）第三章概率模拟方法一一概率的应用教学设计教学分析几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有 限个，利用几何概型可以很容易举出概率为O的事件不是不可能事件的例子，概 率为1的事件不是必然事件的例子.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机 模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科 书中选的例题都是比较简单的随机模拟部分是本节的重点内容，这部分是新增加的内容本节的教学需要一些实物模型为教具，教学中应当注意让学生实际动手操 作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机 数进行模拟试验，得到模拟的结果.在这个过程中，要让学生体会结果的随机性 与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高.三维目标1 .通过师生共同探究，体会数学知识的形成，正确理解几何概型的概念； 掌握几何概型的概率公式：“力构成事件”的区域长度 面积或体积十田米n"划一试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积'子女夙用双子大U 识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.2 .本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯，会 根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概 型，会进行简单的几何概率计算，培养学生从有限向无限探究的意识.重:卢' 卢'教学重点：理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.课时安排1课时教学过程导入新课问题1 ,复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2） 每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概 率应如何求呢？为此我们学习几何概型.问题2,图1中有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向夕区 域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？图1为解决这个问题，我们学习几何概型.问题3.在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等 可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一 个人到单位的时间可能是8： OO至9： 00之间的任何一个时刻；往一个方格中投 一个石子，石子可能落在方格中的任何一点这些试验可能出现的结果都是无 限多个.这就是我们要学习的几何概型.新知探究提出问题1 .随意抛掷一枚均匀硬币两次，求两次出现相同面的概率？2 .试验L取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断.问剪得两段 的长都不小于1m的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色、黑色、蓝 色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm, 靶心直径为12. 2 cm.运动员在70 m外射箭，假设射箭能射中靶面内任何一点都 是等可能的.问射中黄心的概率为多少？3 .问题1,2中的基本事件有什么特点？两事件的本质区别是什么？4 .什么是几何概型？它有什么特点？5 .如何计算几何概型的概率？有什么样的公式？6 .古典概型和几何概型有什么区别和联系？活动：学生根据问题思考讨论，回顾古典概型的特点，把问题转化为学过的 知识解决，教师引导学生比较概括.讨论结果.1 .硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正，正），（正，反），（反，正）， （反，反）.每种结果出现的概率相等，以正，正）=A正，反）=（反，正）=（反, 反）两次出现相同面的概率为;十;=2 .经分析，第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置 可以是长度为3 m的绳子上的任意一点.第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直 径为122 Cm的大圆内的任意一点.在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能 性”，但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题，如图2,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件4把绳 子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件力发生.由于中间一段的长 度等于绳长的于是事件力发生的概率为分（力）=） OD图2第二个问题，如图3,记“射中黄心”为事件为，由于中靶点随机地落在面 积为:X H X122? cm?的大圆内，而当中靶点落在面积为;X X 12. 22 cm?的黄心12-X X 12. 22内时，事件£发生，于是事件夕发生的概率以夕）=0.01.-× X12223 .硬币落地后会出现四种结果（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反） 是等可能的，绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为 3 m的绳子上的任意一点，也是等可能的，射中靶面内任何一点都是等可能的， 但是硬币落地后只出现四种结果，是有限的，而剪断绳子的点和射中靶面的点是 无限的，即一个基本事件是有限的，而另一个基本事件是无限的.4 .几何概型.对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随 机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、 平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例， 则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）,简 称几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.5 . 几何概型的概率公式： Pa）=构成事件力的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积6 .古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的；区别 是古典概型的基本事件是有限的，而几何概型的基本事件是无限的，另外两种概 型的概率计算公式的含义也不同.应用示例例1判断下列试验中事件发生的概率是古典概型，还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如图4所示，有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向方 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.图4活动：学生紧紧抓住古典概型与几何概型的区别与联系，然后判断.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6X6 = 36种，且它们都是等可能 的，因此属于古典概型；（2）游戏中指针指向方区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴 影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关, 因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等 可能性,而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2某人午休醒来，发觉表停了(图5),他打开收音机想听电台整点报时, 求他等待的时间短于10分钟的概率.9 r 3W图5活动：学生分析，教师引导，假设他在060之间的任一时刻，打开收音机 是等可能的，但060之间有无数个时刻，不能用古典概型的公式来计算随机事 件发生的概率，因为他在060之间的任一时刻打开收音机是等可能的，所以他 在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置 无关，这符合几何概型的条件，所以可用几何概型的概率计算公式计算.解:记“等待的时间短于10分钟”为事件4打开收音机的时刻位于50, 60 -51时间段内则事件力发生.由几何概型的求概率公式得即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为点评：打开收音机的时刻才是随机的，可以是060之间的任何时刻，且是 等可能的.我们称才服从0,60上的均匀分布，才称为0,60上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于 3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为2则 某人到站的一切可能时刻为Q= (a, a+5),记4= 等车时间少于3分钟,则 他到站的时刻只能为g= (a+2, a+5)中的任一时刻，故P=瑞胃=点评：通过实例初步体会几何概型的意义.例3小明家的晚报在下午5： 30-6： 30之间任何一个时间随机地被送到, 小明一家人在下午6： 00-7： 00之间的任何一个时间随机地开始晚餐，则晚报 在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题，设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系，如图6中x=6, X= 7, y=5. 5, y=6. 5围成一 个正方形区域G设晚餐在x(6WxW7)时开始,晚报在y(5. 5y6. 5)时被送至U, 这个结果与平面上的点(x,力对应.于是试验的所有可能结果就与G中的所有点 对应.图6由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此，试验属于几何概 型.晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当PV%因此图5中的阴影区域g就7表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g的面积为鼻，G的面积为1.由 O几何概型的概率公式，“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为的/）=需_7=8,变式训练在1 L高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL, 则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：麦锈病种子在这IL中的分布可以看作是随机的，取得的IOmL种子 可视作构成事件的区域，1 L种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体 积比”公式计算其概率.解：取出10 mL种子，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为4则户（力） =0. 01.故取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0. 01.知能训练1 .已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘 上车的概率.答案：由几何概型知，所求事件/的概率为Pa）=2 .两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端 距离都大于2 m的概率.21答案：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件4则Pa）=O 33 .在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜 下观察，则发现草履虫的概率是（）.A. 0. 5 B. 0.4 C. 0.004 D.不能确定解析：由于取水样的随机性，所求事件A： “在取出2 mL的水样中有草履2虫”的概率等于水样的体积与总体积之比赤=0.004.500答案：C4 .平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径TVa的硬币任意掷 在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.答案：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件4为了确定硬币 的位置，由硬币中心。向靠得最近的平行线引垂线掰 垂足为必 如图7所示， 这样线段 加长度（记作M的取值范围就是0,同，只有当TV的任a时硬币不 与平行线相碰，所以所求事件/的概率就是AN）= £ 彳牖M= 三拓展提升1 .约会问题两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，然后就可离 去，试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲、乙两人各 自到达的时刻）组成.以8点钟作为计算时间的起点，设甲、乙各在第X分钟和 第P分钟到达，则样本空间为（x, y） I 060, 0y60,画成图为一 正方形.以X, P分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为I x