微专题4 函数的图象与性质.docx

微专题4函数的图象与性质板块六函数与导数高考定位 L以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的 定义域、最值与值域、奇偶性和单调性；2.利用函数的性质推断函数的图象；3.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强.【真题体验】1.(2023新高考I卷)设函数火X) = 24丁)在区间(0, 1)上单调递减，则a的取值范 围是()A.(8, -2B.-2, 0)C.(0, 2D.2,+8)答案D解析 法一 由题意得4)在区间(0, 1)上单调递减，所以解得心2,故选D.法二 取。=3,则y=x(x3) = l|) 在(0, 1)上单调递减，所以X) = 2乂厂与在(0, 1)上单调递减，所以。=3符合题意，排除A, B, C,故选D.2.(2023全国乙卷)已知/U)=瓦是偶函数，则a=()e IA.2B. 1 1C.lD.2答案D解析法一次X)的定义域为xx0,因为八工)是偶函数，YP% YP x所以人X)=i-X)，即a=FP 即 e（Lq）%一e%=D%+eF,即 e（L"）%+e（ui）=ex+e-%,所以4一1=±1,解得4 = 0（舍去）或4 = 2."z*A/-y法二）=FT, /W是偶函数，又y=x是奇函数，所以y=e（。以一er是奇函数，故 6Z1 = 1,即 4 = 2.3.（2023天津卷）函数八工）的图象如下图所示，则八工）的解析式可能为（）5 （ex-e x）5sin xA»= +2b=+T5 （e*+e，）5cos xC /）=+2D）=7t答案D解析 法一 由题图可知函数#x）的图象关于y轴对称，所以函数八工）是偶函数.对于A,Hx）= :+2，定义域为R，HX）=.+2=IAX），所以函数火X）= :+2 是奇函数，所以排除A；对于B, HX）=定义域为R,火_尤）=5Sin tX） =鬻= 所以函数HX）=穿是奇函数所以排J力十 1X2 十 1JJxz+1除B；对于C,火工）=，定义域为R, -）=2 =»,所以函数5 （e* c %）x）= %2+2 是偶函数，又2+20, ex+ex0,所以X）0恒成立，不符合题意，所以排除C；分析知，选项D符合题意，故选D.法二 由题图可知函数“X)的图象关于y轴对称，所以函数八工)是偶函数.因为y =炉+2是偶函数，y=e%e。是奇函数，所以/(%)=壬一是奇函数，故 排除A；因为y=+l是偶函数，y=sinx是奇函数，所以式X)=II料是奇函数， 故排除B；S ( e' e 尤)因为2+2>0, ex+ex>O,所以火X)= 9裒 >0恒成立，不符合题意，故排 除C；分析知，选项D符合题意，故选D.4.(2022新高考卷)已知函数八工)的定义域为R,且火+y)+KXy)=%V(y),) 22=1,则 EM左)=()A.-3B 2C.0D.1答案A解析因为火1) = 1,所以在f(+y) +八1-y) =/K次y)中，令 y=l,得八%+1)+八%1)=/(元加1),所以“x+l)+«x1)= HX),所以 >+2)+>)=>+1).由相加，得y(x+2)+/(x1) = 0,故"x+3)+HX) = 0,所以“x+3)=x),所以 y(x+6)=一八1+3) =Ax),所以函数人x)的一个周期为6.在 +y) +-y)中，令y=o,得人好+y(X)=KX求0),所以JO)=2.令x=y=l,得火2)+火O)=火Iya),所以<2)= 1.由火 x+3)=H%),得火3)=Ho)=2, )=-D=-l, 5)=-2) = l, >)=-3) = 2, 所以人1)+H2)HH» = 1-1-2-1 + 1+2=0,22根据函数的周期性知，£泼左)=/+火2)+火3)+<4) = 1 121 = 3, 故选A.2% >05.(2023上海卷)已知函数式X)= J -I则火x)的值域为.答案1, +o°)解析 当X>O时，HX) = 2%单调递增，»>1；当x<0时，» = 1,故火X)的值域 为1,+8).【热点突破】热点一函数的概念与表示1 .复合函数的定义域(1)若八工)的定义域为加，,则y=g()中，由加Wg(X)W"解得X的范围即为 火g(x)的定义域.(2)若火g(x)的定义域为加，n9则由加WXW得到g(x)的范围，即为火X)的定义 域.2 .分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并 集.例1 (1)已知函数八x)=7L，则y=J +的定义域为()A.(-8, 1)B.(-8, 1)C.(8, -1)U(-1, O)D.( 8, -1)U(-1, 1)(2)(2023乐山模拟)已知於)='满足火。)勺(一。)，则的取值范-I 2x, x<0,围是()A.(8, -2) U (O, 2)B.(8, -2) U (2,+8)C.(-2, O) U (O, 2)D.(-2, O) U (2,+8)答案(I)D (2)D解析(1)令 1一2%>0,即 2%<1,即 x<0.%)的定义域为(-8, 0).Jx1<0,j+l0,解得x<l且xl.f (光1 )故y=/ +的定义域为(8, -1)U(-1, 1).(2)当 a<0 时，f(a)=a2+2a, f(-a)=a22a,因为 f(d)<f(d),得 c+2a<-a1-2a,即 6Z2+2<0,解得一2<。<0；当 a>0 时,f(d)a1+2a, f-d)=d1-2a,因为 f(a)<f(a), a2+2a<a2-2a,即 a22a>09 解得 a>29所以1的取值范围是(一2, 0)U(2,+8).规律方法1.求形如Hg(X)的函数值时，应遵循先内后外的原则.2.对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求 解.训练1 (2023潍坊模拟)存在函数火X)满足：对任意xR都有()A.x)=x3B ./(sin x)=x2C.x2+2x) = xD.x) =x2+1答案D解析 对于A,当X=I时，*1|)=火1)=1;当 = 1 时,川一II)=HI)= 1,不符合函数定义，A错误；对于 B,令 X=0,则<Sino)=/(0) = 0,令 X=兀，则 /(sin )=火0)=2,不符合函数定义，B错误；对于C,令x=0,则火O) = 0,令犬=2,则<(一2>+2X( 2)=Ho) = 2,不符合函数定义，C错误；对于 D,4Xl)=/+1 = 肝+1, xR,因为仇|20,则存在XNo时，4x)=2+i,符合函数定义，D正确.热点二函数的性质1 .函数的奇偶性定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：八X)是偶函数=H X)=<X)=川刈；八X)是奇函数=HX)=HX)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数X奇函数是偶函数).2 .函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.3 .函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数HX)满足关系式<。+%)=火一%),则函数y=(x)的图象关于直线1=告 对称.(2)若函数«x)满足关系式火。+x)+火-x) = 2?,则函数y="x)的图象关于(。，b) 对称.考向1奇偶性与单调性例2 (2023九江二模)定义在R上的奇函数八工)在(0, + 8)上单调递增，且八一1)=0,则关于X的不等式状x)<0的解集为()A.(-L 0)U(0, 1)B.(8, -1)U(O, 1)c.(8, -1)U(L +8)D.(-l, O)U(1,+8)答案A解析 因为函数八工)是定义在R上的奇函数，且在(0,十8)上单调递增， 所以“X)在(一8, 0)上单调递增，且#0) = 0,火I) = 0,可画出其大致图象，如图所示，因为 x(x)<0,所以当Qo时，»<0,解得O<x<l,当 x<0 时，<x)>0,解得一l<x<O,当X=O时，显然不合题意，所以不等式对<0的解集为(-1, 0)U(0, 1),故选A.考向2奇偶性、周期性与对称性例3 (多选)(2023茂名模拟)已知函数於)对VxR,都有於)=八一%),於+1)为奇函数，且工£0, 1)时，Xx) =x2,则下列结论正确的是()A.函数八工)的图象关于点(1, 0)中心对称B*r)是周期为2的函数CQ-D=O答案ACD解析 由题意/(x+l)为奇函数得x+l)= “x+l),即八一x)+H%+2)=0,故八工)的图象关于(1, 0)中心对称，故A正确；由八一%)=/)，八一%)+八%+2)=。得八%) = 一<2+%),火%+2)=H%), 所以火 x+4)=一八%+2)=H %),即八工)是周期为4的函数，故B错误;由八一x+1)=/(x+l),令x=0,则< 1) = 一HI), )=o,故八一D=HD=O,故C正确；x0, 1)时,f(x)=x2,/IM 规律方法 为 2.1- 41-2“x)的周期为4,对VxR,都有加)=/(一%),1 .若於+)=一於)(或於+G=JFP其中於)0),则於)的周期2 .若«x)的图象关于直线x=a和尤=6对称，则“x)的周期为2a-b.3 .若火x)的图象关于点(曲0)和直线=。对称，则人x)的周期为4|一训练2 (1)(2023浙江名校联考)已知函数J(X) =。3一cosx,贝U/ |)，4。)，/ 一g)的 大小关系为()a)<4M-)Ba«一报图CdtM-£h。)dt)<旭)既(2)(2023武汉调研)设定义在R上的函数八%)和g(x).若火工)g(4x) = 2, g(x) =-2)-2,且/(x+2)为奇函数，则汽1)+八2)+八3) + +#2 023)=.答案(I)B (2)0角星析(1) V(x) = ew-cos X,:,于(X)=elxlcos( X)=ewcos x=f(x),.(x)为偶函数，当 x>0 时，/(x)=ex-cosx,则/(x) = e%+sinx, 当 X£(0, +8)时，f(x) = ex+sinx>0,J函数JX)在(0,+8)上单调递增，.o)</ (IXf),即的 H(-朱脚(2)因为火x)g(4x)=2,所以 g(4x)=4x) 2,即 g(x)=/(4x) 2,又因为 g(x)=«x2)2,所以汽4_%)_2=八%2)2,即火x)=/(2一%),因为火x+2)为奇函数，所以汽2) = 0,且火x+2)=一八x+2),所以火x+2)=一八处，