微专题5 洛必达法则.docx
微专题5洛必达法则【知识拓展】洛必达法则觊：若函数於)和g()满足下列条件：/(x)=0 及 g(x)=O;在点a的某去心邻域内，HX)与g(x)可导且/(x)0; £717=4 那 zT心=7I=a8(2)器型：若函数«x)和g(x)满足下列条件:在点a的某去心邻域内，八X)与g(x)可导且gr(x)O;T (X) .r7 z / (X) f (x) 7I=4 那 zT心T=/心F=A注意：高中阶段能使用洛必达法则的题目一般都能使用分类讨论，但分类讨论难 度较大，所以可采用分参求最值的方式，一般大题中对使用洛必达法则的赋分可 能因标准不同而不同.【类型突破】类型一利用洛必达法则求1型最值In V 1例1 (2023广州调研改编)已知函数於)=17+二，如果当x>0且xl时, X 1 X加)>上*+£求左的取值范围.解法一(参变量分离、洛必达法则)当 x>o 且 x 时，HX)>g+",X 1 Xwm In X l 1 InXl 左即-r+->7+一， x+1 X x1 Xt wm , JdnX l Y xnx 2xnx l Y也即上干+1UT=+i'记 g(x) =2xlnx l-21,x>0 且 x 1,E 2 (x2+l) lnx÷2 (1x2)2 (x2+l) ( lxz贝 U" (T =(1-X2)rx+J记 z(x) = InXTI-A2X2+14x( 12则如)W+FP=E7P>O,从而z(x)在(0,+8)上单调递增，且 z(l) = O,因此当 x(0, 1)时,z(x)<O,当 x(l,+8)时，z()>0, 故当 x(0, 1)时,gx)<O,当 x(l, +8)时,g)>0, 所以g(x)在(O, 1)上单调递减，在(1,十8)上单调递增.t , >、一 ，(2JdnX l 八由洛必达法则有g(x) = l 1-2÷l 1=12xlnx 21nx÷2= +FF=3即当 Xfl 时，g(x)f 0,即当 x>0 且 x 1 时，g(x)>0.因为Ng(X)恒成立，所以左WO.综上所述，上的取值范围为(一8, 0.法二(分类讨论、反证法)工 O、 Inx . 1由"X)=E+3得危)一Inx KK,l-2(左一1)(X21)21n x+令 z(x) = 21nx÷(左一1)(X21)(x>0),1(k1) (X2+l) +2X则/(X)=.k (x2 1) (X-1)2-知,当0时,可得T与力(X)>。； 当 X(l, +8)时，/()<0,可得不与力(X)>°，,ttrInX从而当 x>0 且 xl 时，/(x)-J-+J>O, sp)+当 0< 女<1 时，由于 g(x) = (k- l)(x2+ l) + 2x=(k l)x1+2x+k-1 的图象开口向对称轴下，且 /=44(左一l)2>0,x= 1l 5 g(l) = 2Q>0,1 K所以当 X£(1， j时,(左一1)(%2+1) + 2%>0,故"(X)>0,而 z(l) = 0,故当 X£，T)时，"(x)>0,可得力(%)<。，与题设矛盾.1 JC当左Nl时,/(x)>0,而z(l)=O, 故当 x(l, +8)时，z(x)>0, 可得上力(%)<。，与题设矛盾 综上可得，化的取值范围为(一8, 0.规律方法 对函数不等式恒成立求参数取值范围时，可采用分类讨论、假设反证 法.若采取分离参数的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、 极值在无意义点处，或趋于无穷，此时，利用洛必达法则即可求解.洛必达法则 可连续多次使用，直到求出极限为止.训练1已知函数"x) = e*-l-Q2,当XNo时，火X)No恒成立，求实数的 取值范围.解 当 =0 时，/(x)=0,对任意实数。都有HX)N 0；e* 1 X当Qo时，由<X)No得-F-,设 g(x) =ex-1-X则 g'(x) =XeX-2ex+x+2x3令 z(x) = xex 2ex+x+2(x>0),贝 1J h,(x) =Xe%-e%+1,记 (x) = h,(x),则 f(x)=xex>O, .,"(%)在(0, + 8)上单调递增,/(X)>勿(O) = O,.z(x)在(0, + 8)上单调递增,z(x)>Z(O)=0,gr(x)>O, g(x)在(0, + 8)上单调递增.由洛必达法则知e%1 e%1 e% 1-= 2x =E=5,故 ,综上，实数的取值范围是(一8, 1,OO 类型二利用洛比达法则求荔型最值 例2已知函数«x)=QX一jdn X.若当x(0, 1)时，x)0恒成立，求实数a 的取值范围.解 依题意，QX一xlnx20恒成立，即(-l)xlnx恒成立，又X-I<0, .,. gW也T恒成立， -1令夕(%)=%(0, 1),. jc-l-lnx'8= (%1) 2、令 g(x)=4-1In%, x(0, 1),卬(%) = 1：<0,g(x)在(0, 1)上单调递减，g(x)>g(l)=O, “(%)>0,即e(x)在(0, 1)上单调递增.由洛必达法则知1xln X In XInxXE=r=丁丁=A°'丁Y?.*.(x)>0,故 aW0,综上，实数的取值范围是(一8, 0.规律方法 对于不常见的类型0, , 8。，O0, 8 8等，利用洛必达法则求极限，一般先通过转换，化成1三型求极限.训练2 (2023潍坊调研改编)已知函数段)=2/+尢若(i,十8)时,恒有於)>%3 a,求i的取值范围.解 当 (l, +8)时，火%)>%3一，即 2ax3+x>x3a,即 (2x3+l)>x3-x,Z X即心不豆恒成立，X令 e(x)=23+(x>D,.4x3 + 3x2- 1 叭X)= (2点 + 1) 2>6 夕(无)在(1, + 8)上单调递增,由洛必达法则知X3X 3x21 6x 1(X)= 2x3+l= 6x2 =12=2?.9(x)<g,故【精准强化练】一、基本技能练1 .已知函数 fix) =x(ex-1)ax2(a R).若/U)在x= 1处有极值，求的值；(2)当x>0时，h幻三0,求实数1的取值范围.角星(1) 9 f(x)=ex 1 +xex2x=(x+ l)ex2ax1, 加0在X= 1处有极值，(-l)=2tz-1=0,则 6z=.(2)当 x>0 时，/(x)0,即 x(e-l)-tzx20, ex-1即 tz -, 令 z(x)= -(x>0),. ex (X1) +1> hf(x) = F ，令 g(x) = e(-l)+l(x>0),gr(x)=xex>O,.g(x)在(0, + 8)上单调递增，g()>g(O)=O, zr(x)>O, z(x)在(0, + 8)上单调递增，e% X 6入由洛必达法则知， -=j= 1, Wl,JL即实数。的取值范围是(一8, 1. Y的取值范围.2.设函数兀X)=Ie-L当我20时，兀X)WQX十厂 求 解(1)若 x=0, R;(2)若Q0,当<0时，若%>一十，则Tr<°，HX)WTr不成立 ax+1 j ax+1XeXe1 +1当三0时，由火X)WiTT得真(D ,YPxpx + 1设 g(x)=kT(Q0),则 g,(x)=。2%-2ex+1X2 (ex-1) 2令 h(x) = e2x-2ex-2ex÷ 1,则 h'(x) = 2e2x2xexx2ex2ex=ex(2ex2-22).再令 m(x) = 2cx2-22,则 mr(x) = 2ex-2 2x=2(ex-1),易得当x>0时，mf(x)>0,即加(X)在(0,+8)上单调递增,.*. m(x)>m(0) = 0,zr(x)>O,即 z(x)在(0, + 8)上单调递增,.g)>Z(O) = 0,gr(x)>O,即g(x)在(0,+8)上单调递增,连续两次使用洛必达法则，得xe%+e% _ 1g(“)xex+ex-1 xcx+Icx 2'故 g(x)>(x>O).1Y故当OWaW今XNO时，1ey7恒成立， 2ax+1综上，的取值范围是,3 .(2023武汉调研)已知函数 fix)=ax2xcos x+ sin x.(1)若4=1,讨论«x)的单调性；当x>0时，/(x)<xex-2x+sin x,求实数Q的取值范围.解 (1)当 a=l 时，火X)=X2XCOSX+sin%, jcR, /(x) = 2x+xsin X=X(2+sin X).当 x(0, +8)时,/()>0;当 X(-oo, 0)时,/()<0,.(x)在(-8, 0)上单调递减,在(0, +8)上单调递增.(2)当 x>0 时，有 f(x)<xcx-2x+SinX 恒成立，即 %>0 时,2<xex÷xcos x-2x 恒成立，即本如恒成立.人 e*+cos%-2令 g(x)=，%>。，R(%) =(%1) ex-xsin %cos x+2X2令 9(x) = (-l)e%-XSinXcosx+2, %>0, 9'(X)=Xe%XCOS %=x(ex-cos x).Vx>0, e>l cos x, . ' (x)>0,.伊(九)在(O, + 8)上单调递增，.*.9(x)>夕(O) = 0,g'(x)>0, .g(x)在(0, + 8)上单调递增， :由洛必达法则知 ex÷cos x2 e%SinXX =1=1,g(x)>l,故 1Wl, ，实数。的取值范围是(-8, 1.二、创新拓展练PXY 1 A24 .设函数八工)=由，g(x)=3十三.(1)求八工)在(1,犬1)处的切线方程；(2)求证：对于VX(1, ÷o°), f(x)>g(x).(1)解 f()=(,)2, HI)=热 /(1)=东.>)(i, HI)处的切线方程为y(x1),即尸永x+l).(2)证明 令 z(x)=詈J(x+l), x>l,YFX PC Y2 I 1 ) pX1(X)=-(X+1) 2 点5 - (尤+ 1 ) 3 >0,所以"(X)在(1,+8)上单调递增，zr()>zr(l) = O,所以z(x)在(1,+8)上单调递增，z(
