专题04 圆的方程及直线与圆圆与圆的位置关系（考点清单）（原卷版）.docx
专题04圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归3三、典型例题讲与练6考点清单01：二元二次方程表示曲线与圆的关系6【考试题型U二元二次方程表示曲线与圆的关系6考点清单02:求圆的方程6【考试题型1】求圆的方程6考点清单03:由圆的方程确定圆心和半径7【考试题型1】由圆的方程确定圆心和半径7考点清单04：圆过定点问题8【考试题型1】圆过定点问题8考点清单05：直线与圆的位置关系8【考试题型1判断直线与圆的位置关系8【考试题型2】由直线与圆的位置关系求参数9【考试题型3】直线与圆交点坐标9考点清单06：直线与圆相交（韦达定理应用）10【考试题型H直线与圆相交（韦达定理应用）10考点清单07:圆的切线问题11【考试题型1过圆上一点作圆的切线11【考试题型2】过圆外一点作圆的切线11【考试题型3】切线长12【考试题型4】已知切线求参数12【考试题型5】切点弦及其方程13考点清单08：直线与圆综合13【考试题型1】圆的弦长13【考试题型2】已知圆的弦长求方程或参数14【考试题型3】圆的中点弦问题14【考试题型4】直线与圆的实际应用15【考试题型5】直线与圆的定点定值问题16【考试题型6】直线与圆的位置关系中的最值问题17考点清单0%圆与圆的位置关系18【考试题型1判断圆与圆的位置关系18【考试题型2】由圆与圆的位置关系求参数18【考试题型3】圆的公切线条数19考点清单10:圆与圆相交19【考试题型1】相交圆的坐标19【考试题型2】相交圆的公共弦方程20【考试题型3】相交圆的公共弦长20一、思维导图圆与圆的位置关系二、知识回归知识点OL圆的标准方程 我们把方程(x-a)2+(y-b)2 = r2称为圆心为A(ayb)半径为r的圆的标准方程.知识点02：点与圆的位置关系 判断点M(XO,%)与OA： -> + (yP = )位置关系的方法: 几何法:设M(X°, 为)到圆心A3,。)的距离为d,则d =I MAI d > O则点M(x0,y0)在Q A外d = z O则点M(Xo,%)在OA上dvr。则点M(Xo,%)在OA内知识点03：圆上的点到定点的最大、最小距离设 OA 的方程 *一。)2 + (y-力2 = r2,圆心 A(4), 点M是OA上的动点，点P为平面内一点；记d=X;若点 P 在外，则 IPMlmaX = d + r； IPMImin = d - r若点P在OA上，则IPMlnm = 2r； IPMImm=O若点 P 在 LA 内，则 I PM max = d + r-PM Imin= d知识点04：圆的一般方程对于方程/+>2 +以+4+尸=0（ £）,民/为常数），当£>2+石2一4尸>0时，方程/ +,2 +及丫+或+尸=（） 叫做圆的一般方程.当O? + E2 -4/>0时，方程表示以今，-1）为圆心,以7加+ £-4建为半径的圆; 2当O? + 1-4尸=0时，方程表示一个点,9l）当£>2 +石2-4尸<0时，方程不表示任何图形说明：圆的一般式方程特点：炉和y2前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；没有肛项;D2÷E2-4F>O.知识点05：直线与圆的位置关系:几何法图象Q位置 关系相交一" 相切判定方法C.(x-a)2+(y-b)2=r2iI: Ax+ By+C = O。圆心CmB)到直线/的距离：,IAa+ M + CCl = oVa2 + B2d < r =圆与直线相交。C.(x-a)2+(y-b)2 = r2;I: x+By+C = 0 o圆心Cm为)到直线/的距离：J Aa + Bb + C d =. o A2 + B2d = =圆与直线相切。C.(x-a)2+(y-b)2 = r2iI: Ax+ By÷C = O o圆心Cm,3到直线/的距离：,Aa + Bb + C d =r- - oA2 ÷B2d > =圆与直线相离。知识点06：直线与圆相交记直线I被圆C截得的弦长为IABl的常用方法1、几何法（优先推荐）弦心距（圆心到直线的距离）弦长公式：AB = 2yr2-d22、代数法直线/ ： Ar+By + C = O ；圆MX2十 丁十6+6+产=。的一元二次函数02 +bx+c = O消去“ y ”得到关于“ X”Ar+By+ C = Ox2 + y2 + Dx + Ey+F = 0弦长公式：AB = Vl + /:2 J(Xl + W)? -4XM2知识点07：直线与圆相切(1)圆的切线条数过圆外一点，可以作圆的两条切线过圆上一点，可以作圆的一条切线过圆内一点，不能作圆的切线(2)过一点与(小,%)的圆的切线方程(OM:(x a)2+(y b)2=/)点E)(XO，%)在圆上步骤一：求斜率：读出圆心M3。)，求斜率除M ,记切线斜率为&,则.,“我 = -I n A步骤二：利用点斜式求切线(步骤一中的斜率+切点(%,%)点4*0, %)在圆外记切线斜率为左，利用点斜式写成切线方程)，-%=以n-%)；在利用圆心到切线的距离d = r求出上(注意若此时求出的&只有一个答案；那么需要另外同理切线为X = Xo)(3)切线长公式记圆M:(x )2 + (y-32 =/；过圆外一点尸做圆M的切线，切点为“，利用勾股定理求P"；知识点08：圆上点到直线的最大(小)距离设圆心到直线的距离为d,圆的半径为当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：d + r,最小距离为：d-r；当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：2最小距离为：0；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：d + r,最小距离为：0；知识点09：圆与圆的公共弦1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设。G ： (x-ai)2 +(y-hi)2 = L'lC2 ： （x-a2）2 +（y-b2）2 =r联立作差得到：Ar+By +C = O即为两圆共线方程三、典型例题讲与练考占清单01：二元二次方程表示曲线与圆的关系【考试题型11二元二次方程表示曲线与圆的关系 【解题方法】D2+E2-4F>0【典例1（2023上湖北武汉高二华中师大附中校考期中）“无>4”是“方程f + y2+H + -2）y + 5 = 0表 示圆的方程'的（）A,充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【典例2】（多选）（2023上江苏泰州高二泰州中学校考阶段练习）已知方程x2+y2-4% + 8）, + 2 = 0,则下列说法正确的是（）A.当 = 10时，表示圆心为（2, Y）的圆B.当<10时，表示圆心为（2,T）的圆C.当 = 0时，表示的圆的半径为4正D.当a = 8时，表示的圆与）轴相切【专训1-1 （2023上四川成都高二棠湖中学校考期中）已知方程/ + 9+4%2y-5c = 0表示圆的方程, 则C的取值范围为（）B. c-lA. c>1C. c>lD. cl【专训12】（2023上湖南常德高二校考期中）若方程/ + 9+（1及一2丁+2-6=0表示圆，则?的取 值范围为.考点清单4田eg02：求圆的方程【考试题型1】求圆的方程 【解题方法】圆的一般方程或标准方程【典例1】（2023上北京顺义高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知圆C的圆心坐标为（-3,2）,且点(TI)在圆C上，则圆C的方程为()B. ÷y2+6x-4y-8 = 0D. X2 + y2 +6x-4y = 0A. X1 + y2 +6x-4y + 8 = 0C. X2 + y2 +6x + 4y = 0【典例2】(2023上.天津和平高二天津市汇文中学校考期中)求适合下列条件的圆的方程.求过两点A(0,4), 3(4,6)且圆心在直线2 = 0上的圆的标准方程.己知;45C的顶点为A(-l,5), 3(5,5), C(6,-2),求JlBC外接圆的一般方程.【专训11】(2023上.广东江门.高二台山市第一中学校考期中)圆Ua-I)2+(y + l>=4关于直线X- 2y+2=0对称的圆的方程为()A. (x-3)2+(y-l)2=4B. (x + 3)2+(y-l)2 = 4C. (x-l)2+(y÷3)2=4D. (x+i)2 ÷(y-3)2 =4【专训12】(2023全国模拟预测)函数f(x) = I-5x+4的图像与坐标轴交于点A, B, C,则过A, B, C 三点的圆的方程为.老点清单03：由圆的方程确定圆心和半径【考试题型1】由圆的方程确定圆心和半径 【解题方法】公式法或观察法【典例1 (2023上湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习)若与y轴相切的圆C与直线/：)，=立彳也相切，3且圆C经过点P(2,J),则圆C的半径为()7787A. 1B. C.一或一D. 1 或一8833【典例2】(2023上安徽合肥高二校联考期中)已知eR,方程/+3 + 2)?+4x+8y+ 5 = 0表示圆， 圆心为.【专训11】(2023上高二课时练习)已知A(0,0), 3(6,0), C(T,7),求；ABC的外接圆的圆心坐标和半 径.【专训12】(2023上北京西城高二北京育才学校校考期中)圆Y + y2+2y = 的圆心坐标为,半径为一者占喑单 04：圆过定点问题【考试题型1】圆过定点问题【解题方法】【典例1】（2019高一课时练习）已知方程Y + y2-20r+2（-2）y + 2 = 0表示圆，其中aeR,且分1,则 不论。取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是.【典例2（2022上辽宁大连高二统考期中）对于任意实数4,曲线（1 + ；I）X2+（1 +团/+（6-4/1»-16-62=0 恒过定点【专训1-1 （2023上河南信阳高二统考期中）圆/+ 9+比一2）,一? = 0恒过的定点是.【专训12】（2022全国高三专题练习）求证：对任意实数-2,动圆（ + 2*+5 + 2）/-4x-2 = 0恒 过两定点.考占清单- 05：直线与圆的位置关系【考试题型H判断直线与圆的位置关系【解题方法】几何法或代数法【典例1】（2023上黑龙江哈尔滨高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）已知2x0 + 为=5,则 圆f + y2 =2与直线玉4+%）, = 2的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定【典例2】（多选）（2024上.安徽.高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知直线/:/HLy-叶3 = OWeR） 及圆C:（x-2+（），-4）2=3,则（）A,直线/过定点B.直线/截圆C所得弦长最小值为2C.
