【正文·精校版】第01章 集合与常用逻辑用语章.docx
第1章集合与常用逻辑用语模块1集合()内容提要在全国高考中，集合这一节主要考查集合的概念、关系、运算等，下面梳理一些常考的知识点.L集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性.2 .集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn 图子集集合4 所有元素都在集合B中AQB真子集集合/是集合B的子集，且集 合B中至少有一个元素不在集合4中AB集合相等集合4 B中的元素相同 或集合4 B互为子集A = B3 .子集个数：含有几个元素的集合的子集有2几个，非空子集有2"-1个，真子集有2几-1个，非 空真子集有2几2( 1)个.4 .集合的基本运算运算自然语言符号语言并集由所有属于集合/或属于 集合B的元素组成的集合AiJ B = x X E Z 或K B交集由属于集合Aa属于集 合B的所有元素组成的集合A C B = x X E Z且K B补集由全集U中不属于集 合/的所有元素组成的集合CuA = xxE U且K g AII类型I：集合的概念、集合中元素的性质例1设集合 = 2, 2- + 2, l-a,若4 4则G的值为答案：2或-3 解析：4这个元素在集合/中，故依次考虑4中的每一个待定元素为4即可，因为44所以 小。+ 2 = 4或1- = 4,解得: = 2或-1或-3；注意还需代回去检验集合/是否满足元素互 异， 当 = 2时， = 2, 4, - 1,满足题意；当。=一1时，1一。= 2,不满足元素互异，舍去;当a = 3时，A = 2, 14, 4,满足题意；综上所述，a的值为2或-3.反思求出集合中参数的值后，务必检验是否满足集合中元素的互.异性.类型n：根据集合相等求参例 2已知集合/ = a, b, 1, B = -1? 2, a2,若A = B,则心=()A.1B.-2C.-1D.1 或答案：A解析：集合B中只有1个待定元素小，故先考虑它是集合/中的谁，观察发现只能是L因为1A,且4=8,所以1B,故小=1,解得：a = ±1,求出两个值，还需检验是否满足元素互异，当a = l时，集合/中有相同元素，舍去，所以Q =-1,此时/ = -L b, 1, B = -l, 2, 1,对比可得b = 2,所以心=(=L反思根据集合相等求出参数的值，务必检验是否满足集合中元素的互异性.变式已知集合/ = % R I %2 + ax + 1 = 0, B = x E R x2 + 2x a + 3 = 0,若4 = B, 则实数。的取值范围是 答案：(-2, 2)解析：A, B都是一元二次方程的解构成的集合，先考虑它们都无解的情况,嵋:H 3)<。再考虑4 B不是空集的情形，此时两个一元二次方程应同解，可由韦达定理建立方程求e若 A = B 0,设方程/ + a% + 1 = 0和+ 2% a + 3 = 0的解分别为xl, X2 ?贝情先应有偿二;二i17+3)(f解得：2,其次，由韦达定理，E1J不；"：二解得：Q = 2,满足2;综上所述，实数G的取值范围是(-2, 2).反思在分析含参方程的解集时，一定要考虑无解的情况，此时对应集合为空集，且空集是可能 满足题意的.类型L根据集合间的包含关系求参例3若集合A = L 2, 3, m, B = 2, 3, m2,若B U 4 则实数Tn的值为答案：-1或O解析：集合B中的2, 3这两个元素/中已经有了，故只需考虑巾2这个元素即可，因为JBUAam2 e B,所以t24 故2 = 1 或n2 = rn,解得：m = 1, 1 或 0,还需检验是否满足集合中元素互异，经检验，当Tn = I时，集合/中有相同元素，舍去；当Tn =-1或0时，集合/、B均满足元素互异；所以实数Tn的值为-1或0.变式集合/ = xx< 一1或 3, B = x ax+ 1 0,若B A,则实数G的取值范围是答案:TI)解析：要分析/和B的包含关系，应先解B中的不等式% + lO,需讨论G的正负，当 = 0时， 不等式% + l0无解，所以8 = 0,满足B U 4；当a>0时，由% + 1 0可得 -2，所以B = (-8, - -1,要分析怎样能使B U 4可函数轴来看，注意单独考虑端点燃否重合，BUZ的情形如图L所以工<L解得：0<<L a当“<0时，由% +1 0可得X -工，所以B = I-L +), BU/的情形如图2,从而一工 3, aLaa故-1<0;综上所述，实数G的取值范围是卜?1).图1图2总结分析列举法表示的集合间的包含关系，对比两个集合中的元素即可；而对于连续取值的集合间的 包含关系，常函数轴分析，需重点关注端点燃否重合；另外，当子集含参时，一定注意讨论子集 为空集的情况.类型IV：子集个数例 4已知集合4 = 1, 2, 3,集合B = (%, y)% A, y Ax - y , A,则集合B的子集 个数J答案：64解析：分析子集个数，需先分析集合中元素的个数，观察发现%和y各自都只有3种取值，可列 表来看，X111222333y123123123%-y012101210由上表可知集合B中的元素有(1, 2), (1, 3),(2, 1),(2, 3),(3, 1),(3, 2),共6个，所 以B的子集有26 = 64个.反思求集合的子集个数，需先分析集合中有几个元素，再代结论即可(见内容提要第3点)类型V：集合的基本运算例 5(2022.浙江卷)设集合/ = L 2, B = 2, 4, 6,则AUB =()A.2B.l, 2C.2, 4, 6)D.l, 2, 4, 6答案：D解析：求并集，把两个集合的元素合在一起即可，由题意，UB = 1, 2, 4, 6).变式已知集合/ = x a 2 < X < a + 3, B = x x2 5x + 4 > 0,若A U B = R,贝!j”的取1 直范l是()A.(-, 1)B.(l, 3)C.l, 3D.3, + 答案：B 解析：%2 5% + 4 > O <> (% 1)(% 4) > O = % < 1 或K > 4,所以B = (, 1) U(4, + ), 分析连续取值集合的并集，可函数轴来看，其中端点燃否重合需要重点关注，如图，要使ZU B = R,。-2与1, +3与4都不能重合，否则并集中就取不到端点处的元素，所以应有解得：l<<3.反思MUB = %4或xB,对于连续取值的集合的并集，可函数釉分析，尤其需要注意 端点.例 6(2022-新高考 I 卷)若集合M = x<4, N = x 3x 1,则M CN = OA.x I O % < 2B.x I I % < 2 jC.x I 3 % < 16D.x I I % < l答案：D解析：%<4<Ox< 16,所以 M = % I O % < 16, 3% 1 u> % 所以N = x%,求连续取值的集合的交集，可函数轴来看，如图，MN = xx< l.Lj0£163变式已知集合A = (x X2 X 2 0, B = (x 2a < X < a2,若A B = 0,则实数的取值 范围是 答案：O, + 解析：x2-x-20>(% + 1)(% 一 2) O 0 一1 % 2,所以 4 = -1, 2, 接下来分析怎样能使力5 = 0,先考虑B为。的情形，当8 = 0时，2aa2,解得：02,止匕时满足B = 0;再考虑B非空的情形，此时可函数轴来看，当0时，首先应有2q<q2,解得：。<0或。>2(1)；其次，图形应为图1或图2所示的情形，若为图L则M-1,无解；若为图2,则22,解得： 1,结合(1)可得a > 2；综上所述，实数的取值范围是0, +.i1IAX】t_j) , A >2a a2 1 21 2 2a a2图1图2反思根据交集为空集求参，一定要考虑含参集合本身为空集的情况.例7(2022-全国甲卷)设全集1/ = -2, -1, 0, 1, 2, 3,集合Z = -1, 2, B =x X2 4x + 3 = 0,贝!)Cu(4 UB)=()A,l, 3B.0, 3C.-2, 1D.-2, 0答案：D解析：/ _ 4% + 3 = 0 = (% 1)(% 3) = 0 0 = 1 或 3,所以B = l, 3,又4 = -1, 2,所以AUB = -1, 1, 2, 3,接下来求CUG4 UB),只需在全集U中把4 U 3这部分去掉，取余下部分即可，所以CUG4 UB) = 2, 0.变式设全集U = R,集合4 = x X2 - (2m + 1)% + m2 + m < 0, B = x -2 < x < 1,若集合(QA) B中有且仅有1个整数，则实数Tn的取值范围是答案：(2, 1) U (1，0)解析：X2 (2m + l)x + m2+m<0<>(x- m)(x m l)<0<>m<x<m+l,所以A = (m, m + 1),故C04 = (, m U m + 1, + ),再分析C"Z与B的交集，可函数轴来看，尤其需要关注端点燃否重合，要使(CU/) B中有且仅有1个整数，则可能的情形如图1和图2所示,若为图1, Tn不能与一1, O重合，否则交集中有2个整数，所以一IVTnVOvTn + 1 < 1,故1 < m < 0；若为图2, Tn不能与2, 1重合，否则交集中有2个整数，所以2 Vzn<l<n + l V0, 故2<nV-l;综上所述，实数Tn的取值范围是(2, - 1) U (-1, 0)., I二fx j> 11 1 -2 -1 m 0 w + 11-2 m-Im+ 10 1图1图2总结从上面两道题可以看出，分析列举法表示的集合的并集、交集、补集，直接从元素来看即可；而 对于连续取值的集合，则常函数轴来分析，且往往需要重点关注端点.类型VI： Venn图例 8设集合U = 口，2, 3, 4, 5,若GM) U (C") = 口，2, 3,则ZnB =()A.4, 5B.3, 4, 5C.l, 2, 5D-5答案：A解析：直接由(G1) U (G7B) = 1, 2,
