sinx和cosx多次方乘积的积分.docx

sinx和cosx多次方乘积的积分我们要求的是在不同区间内求$SinX$和$CoSX$的多次方乘积的 积分。首先，我们需要确定这些积分所在的区间。1 . Sxin-frac pi 2, frac pi 4$时，$sinxge 0$, $cosxge 0$,所以$sin xcdot cos X$在$ -frac pi 2, fracpi 4$上连续。2 . 当$乂11112。pi 4, frac3pi 4$时,$sinxge 0$, $cosxle 0$,所以$sin xcdot cos X$在$ frac pi 4, frac3pi 4$上连续。3 .当$*311-frac 3pi 4, -frac pi 2 $时，$sinxle 0$, $cosxle 0$,所以$sin xcdot cos X$在$ -frac 3pi 4, -fracpi 2$上连续。接下来，我们分别计算这三个区间内的积分：4 .在$ -frac pi 2, frac pi 4 $上的积分:$int_-fracpi2- fracpi4 sinxdx = (sin- cosx) |_-fracpi2 fracpi4=(sinfracpi4-cosfracpi 4) - (sin(-fracpi2)- cos (-fracpi2) = (sqrt 2)/2 + 1$.5 .在$120小。4, frac3pi4$上的积分:$int_ fracpi4 frac3pi4 sinxdx = (sin- cosx) |_ fracpi 4 frac3pi 4= (sinfrac3pi4-cosfrac3pi4) 一 (sinfrac pi 4- cosfracpi4) = (sqrt2)/2 + 1$.6 .在$ -frac 3pi 4, -frac pi 2 $上的积分:$int_-dfrac3pi 4 -fracpi2 sinxdx = (sin-cosx) |_-frac3pi4 -fracpi2 = (sin(- dfracpi2)-cos(-dfracpi2)-(sin(-dfrac3pi4)-cos(-dfrac3pi4)=-1+dfracsqrt 2 2$.最后,将这三个积分相加，得到$int_-infty +infty ) sinxcosxdx = (sqrt 2)/2 + 1 + (sqrt 2)/2 + 1 - 1 + dfracsqrt22 = dfrac3 (sqrt2)2 + 1$.