5.2导数的运算公开课教案教学设计课件资料.docx
5.2导数的运算XXX 一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5. 2. 1基本初等函数的导数例1求下列函数的导数：2(1) y = X3；(2) y = log2x.解：(1) y'=|%5-1=|%-3；(3) / = Oog2Xy-例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p (单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t) = PO(I + 5%y,其中PO为C = O时的物价.假定某种商品的Po = L那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)？解：根据基本初等函数的导数公式表，有pf(t) = 1.05tlnl.05.所以pf(10) = l.O5lolnl.O5 0.08.所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.练习1.求下列函数的导数：(Dy = (2)y =(3)y = 3x(4)y = G 尸(5)y = log4x (6)y = Iogix2【答案】y' = -4x54 1(2)y，=产 V = 3xln3(4)y，= ()xln(6)y'=1-xln2【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；(1)解：因为y =妥=%-4,所以 V = 一 4%-5；(2)解：因为y =V = B所以y'=(句=X；(3)解：因为y = 3%,所以V = 3%ln3;(4)解：因为y = x,所以V = xln;(5)解：因为y = log4%，所以y'=q%；(6)解：因为y = Sg/所以y,二 =熹； Z22.求下列函数在给定点的导数：(Dy = %，在 - 3处的导数；(2) y - Inx在 = |处的导数；(3) y = Sin%在 = 2兀处的导数；(4) y erv在 = 0处的导数.【答案】尸=405； Jr(I) = |； (3)广(2兀)=1； (4) Jr(O) = 1.【分析】运用求导公式对所给函数进行求导，然后再求所求点的导数值.【详解】(1)因为y =必，所以V = 5%4 ,所以在 = 3处的导数为尸(3) = 5 X 34 = 405；(2)因为y = ln%,所以V=：,所以在 = |处的导数为r(I)= |；(3)因为y = sin%,所以y'= cos% ，所以在x = 2Tr处的导数为f'(2) = cos2 = 1；(4)因为y = ex,所以y' = ex ,所以在 =。处的导数为f'(0) = e° = 1.3 .求余弦曲线y = Ce)Sx在点(10)处的切线方程.【答案】y = %+ 【分析】求导得y = cos%的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线方程.【详解】因为y = cos%,则y' = -sinx,可得曲线y = COS第在点©,0)处的切线斜率为k = -1,则曲线y = COSX在点(?0)处的切线方程为y =+ p故答案为：y = -% + .4 .求曲线y = A在点(4,2)处的切线方程.【答案】y = ：% + 1 ，4【分析】先求导数，然后求出切线的斜率，即可得到切线方程.【详解】解：y' = 1%一5 =亲，111y I %=4 F = %，1' k =-4所以切线方程为y 2= (% 4),即y =：久+ 15. 2. 2导数的四则运算法则例3求下列函数的导数：(1) y = X3 X + 3；(2) y = 2% + cos%.解：(1) V =(炉 一 % + 3)，=(/)，_(%)，+ =3x2 1；(3) y' = (2x + cos%)'=(2xY + (CoS%)，=2xln2 - sinx.例4求下列函数的导数：解:(I)V = (%3讲)，=(%3),ex + %3(ex),=3x2ex + x3ex.V =管)(2sinx),x2 2sin%(%2y 2x2cosx 4%Sin%(%2)2X42xcosx-4sinx二 哀 ,例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将It水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(%)=(80<%<100)求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1) 90%；(2) 98%.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数._ 5284, X (100 %) 5284 X (100 - %)，二(100-%)2_0x(100 %) 5284 x(1)二(100-x)2_5284一 (IOO-X)2*(1)因为c'(90) = a。：8：。)？ = 52.84,所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时 变化率是52.84元/吨.(2)因为498) = /；?1321,所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨.函数f(%)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知， d(98) = 25d(90).它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化 到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净 化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.练习1.运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5. 1节例2.你是否感觉 到运算法则给解题带来的方便简捷？5.求下列函数的导数：(Dy = 2/ - 3x2 - 4； (2) y = 3cosx + 2X； (3) y = exinx试卷第4页，共14页(4) y = (x2 + 2x)%; (5) y 等，(6) y tan%【答案】(1) y, = 6x2 - 6x； (2) y, = -3sinx + 2x ln2； (3) y, = exnx + ?； (4) y/=%l + 3/ y，=等;(6) V=表【分析】运用导数求导法则直接求导即可得到结果.【详解】(1) y, = 6/ - 6%(2)y, = -3Sin% + 2x ln2(3)y' = exln% + X(4)(5)y,=X2(6)y' = (tan%)'=(哭)'y' = (2x + 2)x + I (x2 + 2x)x2cosxcosx + sinxsin%COS2X_ 1COS2X6.求曲线y = /+：在点(1,4)处的切线方程.【答案】 + y - 5 = O【分析】先求解出尸(%),然后求解出尸(I)J(I),由此可写出切线的点斜式方程并将其 转化为一般式方程.【详解】因为V=尸(%) = 2% -卷，所以/=2-3 = -1, /(1) = 1 + 3 = 4,所以切线方程为：y-4 = -(%-l),即为 + y 5 = 0.5. 2. 3简单复合函数的导数求下列函数的导数:(1)y = (3% + 5)3；(2)Q0.05x+l y - ey = ln(2x 1).解：(1)函数y = (3% + 5)3可以看作函数y = 3和 =3% + 5的复合函数.根据复合函数的求导法则，有V， = V， . u,r7 X U x=(u3), (3% + 5)，=3u2 × 3= 9(3%+ 5)2.(2)函数y = e-0Q5%+可以看作函数y = M和 =-0.05% + 1的复合函数,根据复合函 数的求导法则，有y1 x = y,u ,x=(eu), (-0.05x + Iy=-0.05eu=-O.O5eoo5x+1.(3)函数y = ln(2x - 1)可以看作函数y = ImZ和a = 2x - 1的复合函数.根据复合函数 的求导法则，有y,x = y,u 吟=(ImZ)' (2% Iy1=2 ×-u_2-2x-l*例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y (单位：mm)关于时间t (单位：S)的函数 满足关系式y = 18sin(gt-9求函数y在t = 3s时的导数，并解释它的实际意义.解：函数y = 18sin(争一可以看作函数y = 18Sin和=争一卯复合函数，根据 复合函数的求导法则，有y,t = yru'u,t,2 r=(18sinu) yt2)2=18cosu X -=12cos 隽 t 当力=3时，yrt = 12cos停)=0.它表示当C = 3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为Omms.练习7.求下列函数的导数：(2)y = (1 2x)3(3)y = Iog2 (2% + 1)X(4)y = cos-(5)y = sin(y - 3%)(6)y = 22x - 1【答案】(I)V =3(3% +I)W(2)y, = -6(1 - 2x)2(3)y,=4' »(2x+l)ln2(4)y，= _：Sinl(5)y, = 3sin3x(6)y, = 4xln4【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得;(1)解：因为y =岛f = 2(3% + l)号,所以于=2(3% + 1)m'=3(3% + 1)号(2)解：因为y = (l 2x)3,所以V = KI 2%)3了 = 6(1 2%)2(3)解：因为y = k)g2(2% +1)，所以y' = Iog2(2% + I)' = g+n2(4)解：因为y = cos(,所以y'= (cos?) = -sinj(5)解：因为y = sin(y - 3%) = -COS3%,所以y' = (cos3x)z = 3sin3x(6)解：因为 y = 22x-l = 4x-lf 所以 V = (4x - iy = 4xln48 .求下列函数在给定点的导数：CDy = C-Ai在 -1处的导数；(2) y = ln(5x + 2)在 = 1 处的导数.【分析】(1)先根据复合函数的求导法则求解出y = ?-2好1的导函数丫，然后将 =夕弋 入导函数计算出结果即可；(2)先根据复合函数的求导法则求解出y = ln(5% + 2)的导函数V，然后将 = 1代入 导函数计算出结果即可.【详解】(1)因为y = e-可以看作函数y = ?和 =2% 1的复合函数，所以% , = yu ' U r = (eu)f - (-2% - Iy = -2eu = -2e2x1f所以当 =机寸，yx ' = -2e2；(2)因为y = ln(5% + 2)可以看作函数y = In和 =5% + 2的复合函数，所以% '=% '以' = (ln")'(5% + 2)'= = ,所以当 = 1时，yx '=*9 .求曲线y= /=！在点(|,1)处的切线方程.【分析】求出曲线
