必修四《第二章-平面向量》小结与复习.docx
必修4第二章平面向量平面向量章节复习【学习目标】1 .理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量（共线向量）、相反向量、相等向量、两向量的 夹角等概念；2 .了解平面向量根本定理；3 .向量的加法的平行四边形法那么（共起点）和三角形法那么（首尾相接4 . 了解向量形式的三角形不等式：IlZ -I l± WlZ + 5 |（试问：取等号的条件是什么？）和向量形式的平行四边形定理:2（a2+2）=-2 + + I2;5 .了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）；6 .向量的坐标概念和坐标表示法；7 .向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）；8 .数量积（点乘或内积）的概念，a b=a IiICoSe= x x2+y y?注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”。【复习回忆】向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的 “双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以学习中应引起足够的重视.数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直、平行、共线、共点。【课堂导学】一、典例分析例 L 0 为 aABC 内部一点，NAOB=I50° , NBOC=90° ,设 冰二£, OB= , OC=C ,且Ial=2, I 5 |=1, I c |=3,用与否表示C导学提示：运用向量的坐标表示以及平面向量的根本定理尝试解决问题。例2. （1）假设3、3、Z为任意向量，mR,那么以下等式不二足成立的是（«- a*A. 3 + 6） + c = q + S + c）B. a + b）c = ac+bc一T*-C. in （ a + h =m a +m bD. （a b） C = a （b，d）（2）设"、3、Z是任意的非零平面向量,且相互不共线,那么(4b) c (co) b =O 。g IVla(8c) a ( c a ) b 不与。垂直 (3a+2b) (3a-2b) =9|不一4|切中,是真命题的有()A.B.C.D.®下面5个命题：3 = ()2=232aJ_(5c),那么cd ca b =0,那么I a+b -a-b |o b =0,那么或5=6 ,其中真命题是()A0BCD例3.两单位向量d与的夹角为120°,假设c = 2-。,d = 3h-,试求C与2的夹角余弦。例4、向量中一些常用的重要结论：(1) -Ba± + 5,特别地，当£、同向或有0 4 + B=4 + 5 a-b=a-b ；当。、Z?反向或有 OOla-b= + b 11。1 -IhII=Ia+ M ；当。、人不共线 Oilal- |6|<|4±切<|4| + |回(这些和实数比拟类似).(2 )在ABC中，假设A(XQJi(X2，%)，C(不，%)，那么其重心的坐标为 G(X+/+%,/+23+ %,)如假设/ABC的三边的中点分别为(2, 1)、(-3, 4)、(-1, -1),那么I 33)JABC的重心的坐标为PG制(PA + P8 + PC) o G 为ABC的重心，特别地PA+PB +PC = Oo P为ABC的 重心； PAP8 = P8 PC = PCpAOP 为 A3C 的垂心；向量-型+ &L)(4 0)所在直线过AABC的内心(是NBAC的角平分线所在直线)； IABl ACIABl PC+1 BCl PA+ CAPB = 6<> P MBC的内心；(3)向量PAP8、PC中三终点A、B、。共线。存在实数。、使得PA = PB +SPC且+ £ = 1. 如平面直角坐标系中，0为坐标原点，两点A(3,l), 3(-1,3),假设点C满足况=4 加+4 加，其 中4,4 £兄且4 + =1,那么点C在直线AB ±o点评：理解这些重要结论，有助于掌握向量的相关概念及其应用。二、随堂训练L同=2,问=1, a b = i,那么向量。在方方向上的投影是()A. , B. 1C. D. 1222 .在直角坐标系XOy中，分别是与X轴，y轴平行的单位向量，假设直角三角形ABC中,AB = -2F + 7 , AC=k+3jf那么Z的可能值有()A. 1 个B. 2 个C. 3 个. D. 4 个3 .假设向量。与的夹角为120。,且|£|= 1,仍=2,c = + B,那么有()A. cLaB. clb C. cllbD. cl!a4 .如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一-起，假设 AD = AB+kAC,那么；l + A = ()CaA. l + 2B. 2-2 C. 2.D. 2 + 2/5 .在 RfZXABC 中，NBCA=90。,CA=CB= 1,P 为 AB 边上的点，且 AP = ZlA8,假设CP48尸4尸8,那么/l的取值范围是()a- 1P112-JlB. -4【课后稳固】L下面5个命题中正确的有() _ a 二 b = a c=b c ； a c =b c = a = b ；。(b+c) -a b+a c ；a b c ) = ( a 3)C;= .a bA.B. C.® D.2 .以下命题中，正确命题的个数为()假设)与否是非零向量，且与共线时，那么Z与各必与Z或B中之一方向相同；假设1为单位向量，且 e那么 = a I e 。* a a = a3假设。与各共线，。与C共线，那么C与共线；假设平面内四点A.B.C.D,必有R +丽二史+疝A. 1B. 2C. 3D.43 .把函数y = e"的图像按向量a = (2,3)平移，得到y = f(x)的图像，那么AX)=(A. ex3 + 2 B. er+3-2 C. ev2 +3 D. er+2 -34 .假设非零向量0, 满足 +同=网，那么（）A. 2>2+i B. 2<2+ C. 2>a+2i D. 2<a+25 .向量 a、b > c Ka+b + c = O , =3, Z? = 4, c=5 .设 与 b 的夹角为4，b与C的夹角为，与C的夹角为打，那么它们的大小关系是（）A. x<1 <y B. x <3<2 C. 2<3< D. 3<2<x6 . W = = -21 = 1,那么2 + Sl =.7 .以下5个命题中正确的选项是.对于实数p, q和向量4,假设P"=q"那么P=q对于向量。与否，假设I a a = b b那么。二各对于两个单位向量与3,假设Z+1=2那么 H 对于两个单位向量与九 假设kH, 那么。二否8 .为相互垂直的单位向量,假设向量/le； + e；与e；+；le；的夹角等于60°,那么实数 =.9 .设所（-4, 3）,左 2）,那么 2a-!"ab=.21 0 .平面向量，,5,2满足IeI=I ae = be = 2 , a-b= 2 t那么 的最小值为.1 1 .设q与2与是两个单位向量，其夹角为60° ,试求向量 = 2q+e2 = 3q+%的夹角。1 2 .在AOAB 的 0A, OB 上分别有一点 P, Q, OP： PA=1： 2, 0Q： QB=3： 2,连结 AQ, BP 交于 R,假设 OA = , OB = b, ( I )用。与 b 表示 OR. (H)假设 I。I =1, I。I =2,。与 E 夹角为 60° ,过 R 作 RH_L AB于H,用a与B表示。H.参考答案:例1.解：如图建立平面直角坐标系xoy,其中：，j是单位正交 量，那么 B(0,那，C-3,0),设 A(x,y),那么条件知 x=2CoS(150° -90° ),y=-2sin(150o -90o ), WA (1, -3 ),也就是二； 一B = j, c =-3i 所以-3 =3后 B+c I 即C=3 B例 2.解： 答案：D；因为(B)c=0Bcosec,而(Vc)K各ccos6;而C方向 与。方向不一定同向。(2)答案：D平面向量的数量积不满足结合律。故假；由向量的减法运算可知|"|、b, a 一方恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为工c)a-(ca) b c= tb c ) a c ( c a ) b c=0,所以垂直.故假；(3a+2 B) (34-2) =9 a a -4b1=9川2-4向2成立。故真。(3) Bo例3.解：由题意，同=W = 1,且6与匕的夹角为120°,所以，力=同WCoSI20°=g, c2 =C-C = (2d-b)'(2a-b) =42 -4ab +b2 =7 , .c = V7,同理可得. M = Jiio171791182而 Gd= (2d-b)(3%-4) = 74 m一3户 _2印=_ 号, 设。为d与2的夹角，17那么CoS夕=-l-,= 2713点评：掌握求两个向量的夹角的方法与步骤。二、随堂训练1. D 2. B 3. A4. A 5. B课后稳固：1. D 2. A 3. C. 4. C 5 . B- = -33 -T7la÷lb.62(II)根据(I), = -t知R为BP的中点.如图2(2),由条件知aOAB为直角三角形，NOAB=90° ,1 1 .解：Va=2e+e2,.*.a a ÷1 b. 2=a2=(2e+e2)2=4e2+4e e2+e22=7,a=V7。7同理得IbI=J7。又 a b= (2e1+e2) (-3e+22,)=-6e2+ e e2+2e22=,2_7cos = = L 2=. -L /, =120°I。卜 I6 7×7 21 2。R既是AQ的分点，又是BR的分点，由此可利用平面向量根本定理，用a与b表示OR .然后在解 决(I )的根底上，简捷地解决(II)13解析(I ) OP -a, OQ-二b.如图(1), 35VBP-ga- b设BR-AbP=入(a- b)AOR OB * BR= b+ (Lab)3= a+ (1- ) b (1)333VAQ -b- a,设ARrAQ=U ( a+
