几何学悖论 不可逃遁的点.docx

几何学悖论-不可逃遁的点M：帕特先生沿着一条小路向山顶进发。他早晨七点动身，当晚七点 到达山顶。M：他在山顶做了一夜的考察工作，第二天早晨七点沿同一条小路下山。M：那天晚上七点钟，他到达山脚。在那里，他遇到了他的拓扑学老师克 莱因夫人。克莱因：你好，帕特！你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通 过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？帕特：您一定是在开我的玩笑！这绝对不可能。我走路时快时慢，有时还 停下来吃饭和休息。M：尽管这样，克莱因夫人还是对的。克莱因：当你开始登山的时候，设想你有个替身在同一时刻开始下山， 你们必定会在小路上的某一点相遇。克莱因：我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。你和你的 替身当然是在同一时刻经过这一点。正因为这样，我才说在小路上一定有 这样一点，你上山和下山时经过这点的时刻完全相同。这个故事为拓扑学家所称的“不动点定理提供了一个很简单的例证。其 证明是个“存在性证明，它告诉我们至少存在一个这样的点，并没告 诉我们这个点在什么地方。当把拓扑学应用于其它数学分支或其它各门科 学时，不动点定理起着非常重要的作用。学生们一定会对下面这个著名的不动点定理感兴趣。这个定理可以这样来 说明：取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上 的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机 地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎 样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一 个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方！关于这个定理可参 见理查德&middot；库朗和赫伯特&middot；罗宾斯所著？什么是数学？ ？一 书中，一个不动点定理这一节。这个定理首先为荷兰数学家L.E. J.布劳尔在1912年所证明。它具有许 多奇妙的应用。例如，由这个定理可以断言：在任一时刻，在地球上至少 有一个地点没有风。用它还证明了这样的事实：如果一个球面完全被毛发 所覆盖那么无论如何也不能把所有的毛发疏平。有趣的是，我们却可以把 覆盖整个圆环面上的毛发疏平。