专题17 费马点中的对称模型与最值问题（教师版）.docx
专题5费马点中的对称模型与最值问题【专题说明】利用轴对称的性质，把三线段问题通过做对称转化为两点之间线段最短的问题进而解题。【例题】1、如图，在AABC 中，NACB=90。，AB=AC=I, P 是4ABC 内一点，求 B4+PB+PC 的最小值.【分析】如图，以AO为边构造等边 ACD 连接BD,的长即为朋+P5+PC的最小值.至于点P的位 置？这不重要!如何求50?考虑到AABC和AACD都是特殊的三角形，过点。作DHLBA交BA的延长线于8点，根据 勾股定理，瓦）2=92+082即可得出结果.MA+MD+ME2、如图，已知矩形ABCD AB=A, BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点, 的最小值为.【分析】依然构造60。旋转，将三条折线段转化为一条直线段.分别以A。、AM为边构造等边AAO尸、等边AAWG,连接尸G,易证4AMDZzAGR ：.MD=GF：.ME+MA+MD=ME+EG+GF过尸作FHLBC交BC于H点、,线段FH的长即为所求的最小值.FDBE H3、如图，尸是NAOB内一定点，点M , N分别在边Q4,上运动，若NAo5 = 30。，O尸=3,则AFMN 的周长的最小值为.【解析】如图，作P关于。4, OB的对称点C, D.连接Oc 0D.则当M, N是CD与0A, OB的交点时，AaMN 的周长最短，最短的值是S的长. 点P关于。4的对称点为C：.YM=CM, OP=OCf ZCOA=ZpOA; 点P关于OB的对称点为。，：.PN=DN, OP=OD, ZDOB=ZPOBf：.OC=OD=OP=3, ZCOD=ZCOA+ZPOAZPOBZDOB=2ZPOA-2ZPOB=2ZAOB=60o, ZXCOD是等边三角形，.CD=0C=0D=3. APMN 的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+0CD=3.4、如图，点Ha3,历也Il都在双曲线 =二上，点Co，分别是K轴，）轴上的动点，则四边形,15CD X周长的最小值为（）A 52b 62D S2【解析】分别把点A3Qa, 3)、B (Z?, 1)代入双曲线 >=一得：Q=l, =3,则点A的坐标为（1,3）、5点坐标为（3, 1）,作A点关于y轴的对称点P, B点关于X轴的对称点Q,所以点P坐标为（-1, 3）,。点坐标为（3, - 1）,连结P。分别交X轴、y轴于。点、D点,此时四边形ABs的周长最小, 四边形 ABCD 周长=OA+DC+C3+AB=DP+DC+C+AB =PQ+AB 3> + (3 + 1) ÷ J(I - 3> + (3 】)Z=4近+2也5、如图所示，NAQ6 = 30 ,点P为NAOB内一点，OP = 8 ,点”,N分别在OA,03上，求APMN周长的最小值.【解析】如图，作P关于。4、05的对称点、连结。片、04，65交04、05于M、N,此时%W周长最小，根据轴对称性质可知尸M = AM , PN = P?NAPMN = PIM+ MN + PzN = PB,且ZAOP = ZAOPr NBoP = NBoP2,= 2ZA0B = 60o, OA = OR=OP = 8, AABo 为等边三角形，=。4=8即APMN周长的最小值为8.大6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线产理N-毡。33侧)，与y轴交于点C,对称轴与X轴交于点。，点E (4,V ：" Z /图，(1)求直线AE的解析式；(2)点P为直线C石下方抛物线上的一点，连接PC, PE.'B 4Pi一出与X轴交于A、3两点(点A在点B的左n)在抛物线上.y : /图3当APCE的面积最大时，连接CD, CB,点、K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；(3)点G是线段C5的中点，将抛物线产也N - 毡X -出沿X轴正方向平移得到新抛物线V，y经过33点。，y的顶点为点凡在新抛物线y的对称轴上，是否存在一点。，使得尸G。为等腰三角形？若存在， 直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1) 产也N毡 巴产史 (x+1)(X-3).333.A ( - 1, O), B (3, 0).当 X=4 时，. ：.E (4,3(k * b = 0设直线AE的解析式为广质+方，将点A和点E的坐标代入得：!；， E J ,I 产 , b ：解得：公正，公史.33,.直线AE的解析式为广笈x+ 0533(2)设直线CE的解析式为y=mx - & ,将点E的坐标代入得：4WI-JJ = 孚，解得:直线C5的解析式为-、后.过点P作P/y轴，交CE与点、F.设点P的坐标为(X, N -8巨X -瓜),则点F(X,33则FP=(亚X-&)-(逅N-毡X-&)=_33+6后 x 33333. AEPC 的面积=LX (- J-x2+4 J二;1)233当x=2时，AEPC的面积最大.P(2，-必如图2所示：作点K关于CQ和CP的对称点G、H,连接G、“交CD和CP与N、M.是圆的中点,Y点H与点K关于CP对称， 点”的坐标为(2, -毡).22 点G与点K关于CD对称， 点G (0, 0).*.KM+MN+NK=MH+MN+GN.当点0、N、M、H在条直线上时,KM+MN+NK有最小值，最小值二GH=3.,.KM+MN+NK的最小值为3.(3)如图3所示:.y经过点o, y的顶点为点尸, 点尸（3,）.3点G为CE的中点,.G理）.3,FG=卜+ （卓7=邛1 .当尸G=JF。时，点。（3, 70*2721）,。（3, -4v5-22 k当GF=GQ时，点尸与点。"关于广«二；对称,3,点0 （3, 26）.当QG=Q厂时，设点。1的坐标为（3,。）.由两点间的距离公式可知：。+勺巨=卜+（固_a）；,解得：毡. 3 Al 35点Q的坐标为（3, -）.5综上所述，点Q的坐标为（3, Y0+2而）,。，（3, Y&2而）或（3, 2出）或（3, -毡）.3357、已知，如图，二次函数丁 =分2+2分3（40）图象的顶点为“，与X轴交于A、JB两点（6点在A 点右侧)，点H、6关于直线/： y = fx +百对称.求A、6两点的坐标，并证明点A在直线/上；(2)求二次函数解析式；过点B作直线BK /AH交直线I于K点，M、N分别为直线AH和直线I上的两个动点,连结HN、NM,MK,求HN+7W+MK的最小值.【解析】依题意,得qN+2qx-30=0(0),两边都除以a得x2+2-3=0,解得xi=-3/2=1,VB点在A点右侧，AA点坐标为(-3,0)万点坐标为(1,0),答:A 5两点坐标分别是(-3,0),(1,0).证明：直线/：产立 +行，3当尸3时,y=*x(3) + JJ = 0, J点A在直线/上.(2),点H、B关于过A点的直线/:产立 +也对称，：.AH=AB=A, 3过顶点H作HCLAB交AB于。点,则 AC= ；AB = 2,HC = 23 , 顶点 H(-l,23), 代入二次函数解析式,解得a=旦，2二次函数解析式为y = -x2f +受,答：二次函数解析式为氐+孚.(3)直线AH的解析式为y = 3x + 33 ,直线BK的解析式为j = 3x-3 ,y = -x + 33y = y3x-y3解得X = 3L，即 K(3,2J),贝UBK=4, J = 23点”、B关于直线AK对称,K(3,2JJ), HN+MN的最小值是过K作KDLX轴于。，作点K关于直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于£,则 QM=MK,QE=EK=25 AE ± QKf根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,：BKAH,： NBKQ=NHEQ=90。，由勾股定理得 QB= yBK2+ QK2 = 42+(23+23)2 = 8：HN+NM+MK的最小值为8,
