专题08 相似三角形中的基本模型（教师版）.docx
专题08相似三角形中的基本模型【专题说明】相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。【模型】一、“8”字型及其变形 模型展示:(1)如图 1, ABCDoAAOBsACOD=*=*=倦(2)如图 2, NA=NoOZAOBs AD。Co条=果=黑.1、如图，在矩形ABe。中，点E为AO的中点，BO和CE相交于点E如果。尸=2,那么线段B厂的长度为2、已知：如图，ADAB=AFACf 求证：ADEBsFEC.) 证明：tJADAB=AFAC,，1元=,.Ar AdV ZA=ZA, ADC AAFB, ,NC=NB.,. ZDEB= ZFEC, ：. ADEBS FEC.【模型】二、“A”字型及其变形 模型展示:如图 1, DE/BC>ADEABC<>,4=4=.5 A C× lj(2)如图 2, ZAE,D= ZB<>ADEACB<>4=4fAC Lj lj) 1 O共边共角模型，如图 3, ZACD= ADCACB=-. AC An nC图1图2图31、在aABC 中，。为 AB 边上一点，且NBs=NA.已知 BC=2L AB=3,则 BO=2、如图，已知BE, CD是4A5C的两条高，连接求证：ADE AACB.证明：tJBELAC, CDLAB,：.NAEB=NAOC=90。.,. NA NA, .,. ABEaaZkACD .*.-7-. .,.7d /17) AC ij又. NA=NA, .*. ADE AACB.3、如图，AO与BC相交于点E,点尸在 上，且A3 EF CD,求证：年+7亍=石RAn LLf nr证明：9ABEF,： ADEFSADAB, EF DF,AB=DB,又 YEF CD,： ABEFS 丛BCD；K=布. Cl DLf.EF EF DF BF BD . 11 _ 1,*ab+c5=db+bd=bd= 1 ,AB+c5=ef,【模型】三、“手拉手”旋转型模型展示：如图，若ABCsade,则ABQsaace1、如图，。为aABC内一点，石为aABC外一点，且NABC=NOBE, N3 = N4.求证:(IgABDSdCBE； QgABCSADBE.证明：(1).NABC=NOBE,： NABC Ndbc= NDBE /Dec,即Nl = N2.又N3 = N4, .*. ABDACBE.AB DB AB CB(2) *.* ABDCBE,， Cb=EB ： DB=EB，又 ZABC= ZDBE, ：. AABCs ADBE.【模型】四、“子母（双垂直）”型 模型展示：如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即常见 的结论有：CA1=ADAB, BC2=BDBA, CD?=DADB.1、如图，在 R/ZA5C 中，ZACB=90o, CDLAB 于点 D如果4C=3, AB=6,那么 AD 的值为（A ）3933A，2B，2'r2D. 3y32、如图，AD/BC, AE平分NOAB,BE ZABC, EFLAA证明：LAEFs LABE.证明：MA石平分NoAb BE ZABC, .*. ZBAE=ZDABf ZABE=ZABC.tAD/BCf ：. ZDAB+ ZABC= 180°,. ZBAE+ ZABE= 90o, .,. ZAEB=90o.J EFLAB, ：. ZAFE=90o.又 Y NBAE=NEAf, ：. AEFAABE.【模型】五、“三垂直”模型与“一线三等角”模型 模型展示:(1)“三垂直”模型如图 1, ZB= ZD= ZACE=90o,贝IJ4A5Crs2coE (2)“一线三等角”模型如图 2, /B=NACE=ND,则特别地，连接AE,若C为BO的中点，则AACE1S4a5Csacqe1、如图，ABLBC, DC±BC, El 是 BC 上一点，使得 AELOE(1)求证ABE AECD；(2)若A5=4, AE = BC=5,求 CD 的长.解析：(1)证明：'：ABLBC, DC.LBCf ：. ZB=ZC=90o, ZBAE+ ZAEB=90o.9JAELDE, ：. ZAED=90°,：.ZAEB+ZDEC=Wo,：.ZBAE=ZDEc,：.LABES XECD.在 RtA3E 中，VAB=4, AE= 5, AB BE 433ABE=3, ：. EC=BC-BE=53=2;： XABEs4eCD,，反=而，=而，,CO=.2、如图，iABC, AB=AC,点El在边BC上移动（点E不与点B,。重合），满足NDEF=NB,且点D,尸分别在边AB AC±.（1）求证：abdescef;（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分/DFC.证明：(I)TAB=AC, ZB=ZC,又P NBDE=180。一 NB NDEB, Z-CEF= 180o- ZDEF- ZDEB,且NDEF=NB,：/BDE=/CER ：. BDECEF.BE DE(2)MBDEsCEF,：不=隹. Cr ISrCE DE点E是5C的中点，.5E=CE7万=转.Cr/ ILr又/DEF=/B=/C, ：ADEFs AECF,： NDFE= NCFE,即五E 平分NO尸C【基础训练】1. （2019浙江杭州中考）如图，在AABC中，点O, E分别在AB和AC上，DE/BC, M为BC边上一点、（不与点B,。重合），连接AM交OE于点N,则（）分析：先证明aAONsaA5M得到典 = 图1,再证明aANEskAMC得到述=幽，则®I =延，从而BM AMMC AM BM MC可对各选项进行判断.解析：tCDN/BM, IAADNs 丛ABM, A DN = AN,BM AM： NE MC, ：.AANEAAMC, a I® = AN,.典=迺.故选：C.MC AM BM MC2. （2019浙江温州中考）如图，在矩形A5CD中，石为A5中点，以BEl为边作正方形5E1FG,边EF交CD于点H,在边5石上取点又使BM=5C,作MNBG交CD于点、L,交尸G于点N,欧几里得在几何原本中利用该图解释了（。+为（。-=a2 - 2,现以点方为圆心，M为半径作圆弧交线段OH于点尸，连结S1EP,记的面积为Si,图中阴影部分的面积为52.若点A,£, G在同一直线上,则一1的值为（）S2IhaY./二7 E m / .D-ri 7PIi LuJFN GA.返B.返C返D返2346分析：如图，连接ALGL PF.利用相似三角形的性质求出。与。的关系，再求出面积比即可.解析：如图，连接ALGL PF.由题意：S矩形AMZD = S阴=/ -序，PH=N晓_卜2,点A, Lf G在同一直线上，AM/GN,.9.AMLGNL, .e.L = -, .÷k=L,整理得 =30, GN NL a-b b.S-Q-b)?2每2_3飞 a2-b28b24'故选：C3. （2019 重庆中考）如图，XABOsXCDO,若 Bo=6, OO=3, CD=2,则 AB 的长是（）分析：直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案解析：V ABOCDOf J坨=妲，DO DC9BO=6, OO=3, CD=2,，2=妲，解得：AB=4.故选：C 324. （2019河北辽宁沈阳中考）（2019沈阳）已知4A3CsaAbC, AO和AO是它们的对应中线，若AD=10, A,D,=6,则AABC与aAHC的周长比是（）A. 3： 5B. 9： 25C. 5： 3.D. 25： 9分析：相似三角形的周长比等于对应的中线的比.解析：V ABCA,B,C, Ao和是它们的对应中线，AD=10, AD = 6, ZkABC 与aABC的周长比=AO： AfDf=IO: 6 = 5： 3.故选：C.5. （2019哈尔滨）如图，在团ABs 中，点E在对角线BO上，EM/AD,交AB于点M, EN/AB,交AOB.幽=幽AB ADBC =BEME BDBD =BCBE EM于点N,则下列式子一定正确的是（）4 AM=NE i BM DE分析：根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质.解析：Y在团ABCO中，EM/ADf易证四边形AMEN为平行四边形，易证ABEMsABADsLEND, AM =NE = DE , A 项错误BM BM BE继二垣，B项错误，BC = AD = BD ,。项错误，BD = ACAB ADME ME BEBE ME里，。项正确ME故选：D.6. 已知AABCszwbC, AB=8, AE=6,则二=()By CzA. 2B. AC. 3D. A.39分析：直接利用相似三角形的性质求解.解析：VABCA,B,C,区=蛆=A = I.故选：B.B' Cz NB' 6 37. （2019河北承德二中模拟）如图，已知aAOB和AAiOBi是以点。为位似中心的位似图形，且aAOB和A10B的周长之比为1： 2,点B的坐标为（-1, 2）,则点BI的坐标为（）A. (2, -4)B. (1, -4)C. ( - 1, 4)D. ( -4, 2)分析：过5作BCLLy轴于C,过6作氏。_Ly轴于。，依据4493和440氏相似，且周长之比为1： 2,即可得到&-=，再根据450CSasD,可得OD=2OC=4, BiD=2BC=2,进而得出点B的坐标B1O 2为（2, -4）.解析：如图，过5作BCLy轴于C,过B作BLay轴于 点5的坐标为（- 1, 2）,.BC=1, OC=2, 4AOB和AAiOB相似，且周长之比为1： 2,.BO-I -,B1O 2,. ZBCO= ZBDO=90o, ZBOC= ZB1ODf： ABOCs ABiOD, .OD=2OC=4, B1D=2BC=2, 点6的坐标为(2, -4),故选：A.（二）填空题1. （2019 上海中考）在AABC和AAiSG 中，已知NC=NG=90。，AC=AC=3, BC=4, BIG=2,点D、A 分别在边AB、Al以上，且4ACD04GAQ,那么AO的长是.分析：根据勾股定理求得A5=5,设AO=X,则5。=5 -根据全等三角形的性质得出GA=A。=%,ZAiC1Di = ZA, ZA1D1Ci = ZCDAf即可
