专题04 角平分线模型在三角形中的应用（教师版）.docx

专题04角平分线模型在三角形中的应用在初一中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。不少同学遇.到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅 助线。实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助 线以后的目的。能做到这三点，就能在解题时得心应手。【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边角平分线+外垂直当已知条件中出现。尸为NOA5的角平分线、。河，。4于点”时，辅助线的作法大都为过点月作尸即可.即有PM = PN、NOMP色M)NP等,利用相关结论解决问题.oN B【模型】二、角平分线垂中间角平分线+内垂直当已知条件中出现。尸为ZAOB的角平分线,9，OP于点P时，辅助线的作法大都为延长MP交OB 于点N即可.即有AQWN.是等腰三角形、。尸是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称角平分线+截线段等当.已知.条件中出现。尸为NAO5的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON = OM ,连结尸N即可.即有AOMP 0 AQVP,利用相关结论解决问题.N B【模型】四、角平分线加平行线等腰现角平分线+平行线当已知条件中出现。尸为NAo5的角平分线，点P角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点月作 尸加05或痴Q4即可.即有AOMP是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图，NABN = NCBN, P为5N上的一点，并且？BC于点O,AB + 5C = 25D,求证: ZBAP+ZBCP = 180°.分析:条件中出现3尸为ZABC的角平分线尸。± 5。于点D ,属于角.平分线基本模型一.辅助线的作法可尝试过点月作巫，A5,即有PE = QD, BPE0B?D等，利用相关结论解决问题.证明：过点。作巫，A5于点石.尸石，A3,尸。，3C,且 NA5P = NC8尸，:.PE = PD.BP = BP在 RtNPBE和 RtAPBC 中，. RtNPBE 2 RtAPBC,:.BE = BD.PE = PD. AB + BC = 2BD,BC = CD + BD,AB = BE AE, ,AE = CD.PE±AB,PD±BC, .ZPEB = ZPDB = 90°PE = PD在 APAE 和 RtAPCD 中，ZPEB = ZPDC , . RtAPAE g RtAPCD, /. NPCB = ZEAP.AE = DC. ZBAP+NEAP = 180o, /. ZBAP+ZBCP = 180°.2、如图，在AABC中，CD是NACB的平分线，A。，CD于点0,0石BC交A5于点石，求证:石A = X5.分析：已知条件中出现CD为NAeB的平分线，A。，CD于点。，属于角平分线基本模型二.辅助线的作法可尝试延长AD交BC于点尸，即有AC4方是等腰三角形、CD是三线，利用相关结论解决问题.证明：延AD交于点尸.CD 平分 ZACF, . ZACD = ZFCD.又 ADLCD,CD = CD :. AADC咨 NFDC :. AD = FD. 9，又.DE BC,:.EA = EB.3、已知:如图 7,AB = 2ACBAD = NC4D,ZM = D3,求证：OC，AC.分析：已知条件中出现AD为N5AC的角平分线，OC不具备特殊位置，属于 角平分线基本模型三.辅助线的作法可尝试在AB上截取AE = AC,连结。石.即有ACD AED,利用相关结论解决问题.证明：A5上截取A石二AC,连结。石AB2AC,且AE = AC , :.EA = EB.又. DA = DB,.ED±AB.又 ZBAD = ZCAD,AE = AC,AD = AD, . ACD 0 AED , . ZAED = ZACD,即有 OCLAC4、如图,A5CDA5、。石分别平分NBA。和NAOC.探究.：在线段AD上是否存在点M ,使得AD = IEM.分析：已知条件中出现AE、。石分别平分NR4。和NAOC,点石为角平分线上任一点时，猜侧属于角 平分线基本模型四.辅助线的作法可尝试过点石作目以 AB,或以 CD即有NMDE (M4E)是等腰三 角形，利用相关结论解决问题.，解析：点石作以/A5.EM AB,:. ZMEA = ZBAE.又 AE平分 NBAD,:. ZMAE = ZBAE即 NME4 = NM4E,AM = EM.又.AB CD,:.EM CD,同,理可得QM = EM.又< AM + DM = AD, . AD = 2EM.线段Ao上存在点"，使得AD = 2石N.以上四个例题并不复杂，但对研究含有角平分线的几何证明题具有指导意义.在教学过程中，要利用基本模 型将复杂的几何证明简单化，要真正看透问题的本质，并将课本知识内化为自己的知识，从而提高自己探 究问题的能力和数学绘合素养.【基础训练】-K 如图所示，在四,边形 ABCD 中，DCAB, ZDAB =90° , AC±BC, AC=BC, NABC 的平分线交 A0,BFAC于点£、F,则整的值是.分析：要求篝 的值，一般来说-不会直接把5尸和 环都求出来，所以需要转化篝，当过点尸作尸GlAB EFEF时，即可将普转化为婴，又会出现模型1,所以这个辅助线与思路值得一试. EF AG解析：尸G，AB于点G NDAB9。, . FG/AD, /.= EF AGAClBC, ZACB =90°又-BF ZABC, '.FG =FC BF = BF在放aBG尸和吊ZBC厂中，厂 MBGF咨ABCF (HL), '.BG =BGCF = GFAC BC, A ZCBA -45o , AB 二显BCBF BG BCBC 1 r- 1''EF AG AB-BG BC - BC 2-l2、如图，。是-ZkABC的BC边的中点，AE平分N&LC, AEICE于点E,且AB =10, AC =16,则。E的长度为分析：有AE平分NR4C,且AELEC,套用模型2,即可解决该题.解析：如图，延长CE A5交于点尸AE 平分 N5AC, AElEC. ZFAE =ZCAEf ZAEF =ZAEC =90°ZEAF = ZEAC在尸石和aACE 中， AE = AE, :. AAFE ACE (A5A)0 /.AF =AC =16, EF=EC,ZAEF = ZAEC/. BF =6又.。是BC的中点，.8O=CO OE是ACB尸的中位线：.DE = LBF -32故答案为：3.3、如图所示，在公A3C中，BC =6, E、尸分别是AH、AC的中点，动点P在射线跖上，BP交CE于D, ZCBP的平分线交CE于Q,当CQ =1 CE时，EP+BP =.分析：这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3,即可构造出等腰三角形，结合相似模型，即可解出答案.解析：如图，延长BQ交射线反于点；E、方分别是A3、AC的中点,：.EFIlBC. ZCBM =ZEMBBM ZABC, . ZABM =ZCBM：.ZEMB =ZEBM, . EB =EM：.EP +BP =EP +PM =EMCQ =；CE, :EQ =2CQ由 EF/5。得，AEMQSACBQ = 2 :. EM=IBC = 12 .EP + BP = n. BC CQ【巩固提升】1、如图，F, G是QA上两点，M, N是OB上两点，且方G=MN, Spfg =Sapmn,试问点P是否在NAoB的平分线上？解析：过点?分别向O4 05作垂线,Sapfg= PG PE, Sapmn= MN' PH, FG -MN 22,PH=PE.点尸在NAoB的平分线上.2、已知：ABC, NB的平分线和外角NACE的平分线相交于D DGBCf交AC于尸，交AB于G, 求证：GF =BG-CF.证明：5O 平分NA5C, /. Zl =Z2,-DF/BC, A Z2=Z3,. Z1=Z3, /.BF=DE同理：DE=CE.EF =DF-DF, .EF =BF-CE.3、在四边形ABCQ中，NABC是钝角，ZABC+ZADC =180° ，对角线AC平分NBAD(1) 求证：BC =CD；(2) AB +AD =AC,求NBCD 的度数；解析：(1)如图，过点C作CWLA5,交AB的延长线于点作CNLAD 垂足为N, .AC平分NQAB, ：. CM=CNXv ZABC+ZADC= 180o , ZMBC+ZADC=ISOoZDNC=ZBMCj. ZNDC= ZMBCf 在aTVDC 与4M8C 中，/NDC=/MBC , BC=DC CN 二 CM如图，延长AB到&使BB=AD''AB+AD=AC, ：.AB=AC由(1)知NAoC= ZBBC;在aADC 与LBBC 中DC = BC. < Zadc=ZebcAD = BE/. ADC AEBC,故 AD=ECX V AE=AC, ：.AE=AC=EC故aA5C为等边三角形，.,.ZCAB=60o ; ZBAD= 120o , ZBCD=360o -180° -120° =60°即 NBcz)=60 °4、如图，在aABC中，D、£、户分别为三边的中点，G点在边AB上，ZkBOG与四边形ACDG的周长相等，设 BC =、AC =b、AB =c.(1)求线段BG的长(2)求证：DG平分NEDF.解析：(1) ABDG与四边形ACDG的周长相等，.*.BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG。是BC的中点.BD=CD：.BG =AC+AGV BG + (AC +AG) =AB +AC,.*.BG=- (AB+AC)=- (b+c) 22(2)证明：点D分别是BC A5的中点.DF=-AC=-bf BF=-AB=-C 2222又FG=BG-BF = L (Z?+c)- - c = Z? 222DF=FG：./FDG= ZFGD点DE分别是5C、AC的中点，.DBAB, ：. ZEDG= ZFGD, ：. ZFDG= NBDG,即 DG 平 分NEQ产5、如图，BALMN,垂足为A, BA=4,点尸是射线AN上的一个动点(点P与点A不重合)，NBPC二NBM,BClBP,过点。作SLMN,垂足为。，设APr.CD的长度是否随着X的变化而变化？若变化，请用含X的代数式表示C。的长度；若不变化，请求出线段CO的长度.解：CD的长度不变理由如下：如图，延长CB和BL,记交点为点。. ZBPC =ZBPA, BCLBP0B=3C（等腰三角形“三合一 ”的性质）,： BAlMN, CDLMM:AB CD,.QAB DCABCDQBQC12CD=2AB=2×4 = 8即 CD=S6、已知：平面