专题4导数与函数之恒成立问题-同构变换公开课教案教学设计课件资料.docx
专题4导数与函数之：恒成立问题(二)淬炼策略五：同构变换若7(x)0能够变形成了g(x)z(%),然后利用/(x)的单调性，如递增，转化为g(x)Z(X),即为同构变换,例如：优=/%,± = *%,% + jn % = jn %靖 X jn % = ln C %exX【例10】求下列X成立问题的结果(1)已知函数K)二MJkT),若r)20恒成立，则实数Z的取值范围是；(2)已知函数/("=2-H'*kMl,若"r)>O恒成立，则正数Z的取值范围是；(3)已知函数,I Hr 1 11,若 I恒成立，则正数Z的取值范围爰；(4)已知不等式u? -4(1)2hu对任意正数X恒成立，则实数Z的取值范围是；(5)已知函数 “二J-<jMli-1(x>0,其中b >。，若“()；>口恒成立，则实数Z与6的大小关系；(6)已知函数) = g'-3-1,若/(«)No恒成立，则实数Z的取值范围是；(7)已知函数Inlr I ,若 r)2U恒成立，则实数Z的取值范围是；(8)已知不等式( _之公+®1 ,对Vw(0工)恒成立，则左的最大值为；(9)若不等式“一hu.T)对30恒成立，则实数N的取值范围是；【解析】(1) /(x) 0<>xex -(x+ln%)0<>ex+lnx a(x+lnx)oe' ( = x+lnx),o<Qtci Q < 0) ta (/ > 0) tet ， ct (t 1)又 y = ，y = 2-,令 y < 0 ,得/ <0 或 0<<l,令 y > 0 ,得P,所以 >在(8,0), (0,1)递减，在(1,+8)递增，所以，当/<0时，j<o, %>0时，yeci (t < O)aO=Oe a<ea (z0)、 t(2) /(x)0oxe"-(x+lnx+l)0oeX+hw.(x+lnx+l),当 x+lnx+l0时，原不等ex+lnxex+lnx r + nr + 式恒成立； 当x + lnx + l>0时，a <, 由于= 1, 当且仅当%+ hU: + 1x + lnx + l x + lnx + lx+lnx = 0等号成立，所以l.(3) /(x) 0<> +e(x+lnx+l) 0<>ex+hw +e(+lnx+l),当 x+lnx + l。时，x+lnx原不等式恒成立；当x+lnx+l>0时，a <,由(1)中可得eXex,当X = I时，% + Inx +1等号成立，所以e-+e e(x + ln%) + e=e,当且仅当 + lx = l等号成立，X + Inx + 1x + Inx +1所以4e ./八 X / 八、1JXeX-IrLX 上 TXeX-InX cx+inx-Iwc x + lnx + l-lnx ,(4)犹尤a(X+ l)ln%O ,由于= 1 ,所'% + lx + 1x + 1% + 1以1l .x+Mnx _1(5) f( 0 <> xbcx cwc + % +1 <> Qx+binx _ x-i > anxa<.Inxx+w _1 r + 7nr + _ r_i由于£x=b,当且仅当x + x = 0等号成立，所以b.InxInx(6) aex-Inx-I 0 <> a lnxbl ,由于 InX+ 1%, e"e%,两者都是当且仅当 x = l 等号成 e、rnl Inx+ 1 JX 1、1五，贝 U r W = 一，所以 2 一.e ex ee(7) ae2x -ln2x-l0« a ln2+1 ,由于ln2x + l2x, e?" e2x ,两者都是当且仅当兄=工e2芹 c、ln2x + l Ix11等于成立，贝U%- =,所以4 一.e2ex ee(8) ex-l>kx + lwck<-,由于InX+ lx, e2xe2x,两者都是当且仅当 X = I 等X X口 a、”、，e"、 Inex -rll ex Inex、 Y Y万成五，所以一 e, 1 ,贝IJ e-1 , 所以左Wel.XX% X(9) xeax +ax-wc-l = e-+ + tx-lnx-l-6ix + lnx + l + r-lnx-l = 0 ,当且仅当lnIny-0v+lnx = 0 ,即Q =时等号成立.由=有解，y = 12 , y = 1 IT ,易知 y 二'色 在(0,e)上递增，在(e,+8)递减，y y x=e= ,所以 ' XXXee【例11】已知函数1 .(1)讨论n的单调性；(2)当>0时，不等式'-2( v>cs ( 恒成立，求J的取值范围.【解析】(1)函数/(%) = 111%-21(70)的定义域为(0,+8), JL'(x) = -2 = -.当<0时，因为x>O,贝1Jr(X)<0,此时函数/(x)的单调递减区间为(0,+8)；当 0 时，由 r(x)<O<> ,由 f(x)>O<O<x<.此时，函数/(X)的单调递增区间为,单调递减区间为去+.综上所述，当<0时，函数7(X)的单调递减区间为(0,+8)；当>0时，函数7(%)的单调 递增区间为。,£|,单调递减区间为,+.(2)解：7-2(x) cos(x) o efllnx2x -2/(x)-cos/(%) O o ef(x) -2f(x)-cos/(%) O ,设g(，) = e'2，COs，其中/ = (x),则 g'= e'2 + sin，设=e' +sin1-2 ,则 hf(t) = et +cost ,当10时，e'l, sinl,且等号不同时成立，则/(。<0恒成立，当然0时，er >1 , CoS-l,则>0恒成立，则g'(。在(O,+e)上单调递增，又因为 g'=T, gr(l) = e-2 + sinl>0,所以，存在务 (,l)使得 g'(%)=。，当。</<"时，g'")<0;当少务时，g'0>O.所以，函数g在(el。)上单调递减，在(Zo,y)上单调递增，且g(0) = 0,作出函数g的图象如下图所示：由中函数/(x)的单调性可知, 当<0时，“X)在(0,+8)上单调递增，当工。+时，/(x)÷w ,当x+8时,f (x)o,所以1 = (x)R,此时g«o)<O,不合乎题意；当 >0 时，f(x)ma=f = aln-a ,且当 Xf ()+时，/(x)-, 此时函数/(x)的值域为Qln-q ,即1 w18,Qln-q . 当Qln-QVO时，即当OVa2e时，g")0恒成立，合乎题意；(ii)当 Qln-。>0 时，即当 4>2e 时，取" =minQln-qo j ,结合图象可知 g(0)<0,不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是(0,2e.
