专题37等差数列及其前n项和（解析版）公开课教案教学设计课件资料.docx

专题37等差数列及其前nxx知 识 梳 理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题 型 归 类题型一：等差数列的基本运算题型二：等差数列的判定与证明题型三：等差数列项的性质题型四：等差数列前项和性质的应用题型五：等差数列的前项和的最值培 优 训 练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强 化 测 试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1 .理解等差数列的概念.2 .掌握等差数列的通项公式与前项和公式.3 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4 . 了解等差数列与一次函数的关系.【考点预测】1 .等差数列的有关概念等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为仁色二l = d(常数)5N2, N*),等差中项若三个数m A, 成等差数列，则A叫做。与的等差中项，且有A=审.2 .等差数列的有关公式(1)通项公式：an=a + (n-l)d.“工八 一,n(n-l n(a-a)(2)前项和公式：8=口+ 2 勿 或一上3 .等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n, mN*).(2)若丽为等差数列，且左+/=加+(左，/, m, "N*),则以+的=4加十所.(3)若是等差数列,公差为d,则次，ak+m, ak+2m,(k,加£N*)是公差为侬L的等差数列.(4)数列Sm Slm-Smy S3m- Slmy也是等差数列.(5)- = QTl l)a.(6)等差数列所的前项和为8,为等差数列.【常用结论】1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质若项数为2%则S偶一S奇=而，去=旦；J 偶 6Z1SK若项数为 272 1,贝S 偶=(一1)。2, S 奇= Uln, S 奇一S 偶=。，G =- 1 3 偶 n 12.两个等差数列所,瓦的前项和八之间的关系为兽=詈.12n-l Drl【方法技巧】1 .等差数列的基本运算的解题策略等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量，所，5Q知其中三个就能求另 外两个，体现了方程思想.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换的作用，而m和d是等差数列的两 个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法.2 .等差数列的判定与证明方法3 .如果丽为等差数列，m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m，p，qN*）.因此，若出现新心碗，碗+等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与加（或其他项）有关的条件；若求加项,可由4根=（4机- + 机+）转化为求dm-n ,。加十或Clm-nClm+n 的值.4 .等差数列前项和的性质在等差数列z中，&为其前项和，则（I）S2 =几（。1 + Gn）=+ d-l）；（2）- = Qn l）an;当项数为偶数2时，S偶一S奇=而；项数为奇数2一1时，S奇一S偶=。中，S奇：S偶=：-1）5 .求等差数列斯的前n项和Sfl的最值的方法二、【题型归类】【题型一】等差数列的基本运算【典例1】（2020全国卷）记的为等差数列念的前n项和.若G = 2,及+。6 = 2,则SlO=【解析】设等差数列斯的公差为力贝U。2+。6=2。1 + 61=2义（-2） + 6d=2.解得d= 1.所以 Slo=IoX（ 2）+当义 1 = 25.【典例2】（2020.新高考全国I卷）将数列2一1与3一2的公共项从小到大排列得到数列 an,则z的前项和为.【解析】法一（观察归纳法）数列2几一1的各项为1, 3, 5, 7, 9, , 13,；数列3一 2的各项为1, 4, 7, 10, 13,.现观察归纳可知，两个数列的公共项为1, 7, 13,，是 首项为1,公差为6的等差数列,则斯=1+6（-1）=6-5.故前1项和为S="n (1+6-5)2= 3n2-2n.法二（弓入参变量法）令bn=2n-l, Cm=3m2, bn=cm9则2几一1=3加一2,即3根=2"+1, m必为奇数.令 m=2t-l,则几=3%2«=1, 2, 3,）.3=/73才2 = C2/1 = 6%-5,即 Cln = 6ri - 5.以下同法一.【典例3】已知等差数列念的前项和为若战=。8 = 8,则公差d=（）【解析】 .'S8 = 08 = 8, :.01 + 02+ + 08 = 8, S7 = 74 = 0,则 04 = 0.as44"=84 =2.故选D.【题型二】等差数列的判定与证明【典例l】(2021.全国甲卷)已知数列z的各项均为正数,记&为斯的前项和,从下面 中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列斯是等差数列；数歹U0是等差数列；s = 3m.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】3.已知z是等差数列,a2=3a.设数列丽的公差为d,则 a2 = 3a=a+d, 得 d=2a,71(72 1)所 以 Sn l(21 +2.因为数列念的各项均为正数，所以4大= ZT7i,所以吊工二一“£=(几+1)，*周*=4*(常数)，所以数列、瓦是等差数列.今.已知斯是等差数列，m是等差数列.设数列如的公差为4Ell (-1)1 9,. f G贝 U S=na+2d=rrd+ a 2 .因为数列K是等差数列，所以数列"其的通项公式是关于的一次函数，则。13=0,即d=20, 所以 2 = +d=3.0.已知数列代屈是等差数列,42 = 341,所以 Sl=, S2 = 1+2=4.设数列低的公差为d, d>0,则，一，得 a=d29所以水=#i +(Ml)d="d,所以 S=n2d2,所以 an = S-Sn-i = 2cl2-(n-l)2d2=2d2n-d2(n2),是关于 n 的一次函数，且 = "满足上 式，所以数列外是等差数列.【典例2已知在数列斯中，Qi = I, =2-i + l(n2, .N*),记典=Iog2(斯+1).判断瓦是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列所的通项公式.【解析】(1)瓦是等差数列，理由如下：biIog2(1 + 1)=log22 = 1,当 2 时，bn bn-1 l0g2( + 1) l0g2(-1 +1)a 12-i + 2=10g21°g2-i + l = 1'为是以1为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bn=l + (n-l)×l=n9/. (+l = 2% = 2", Cln 2" - 1.【典例3】已知数列词满足G = I, 且 na+ (Z： +1 )a=22+2n.(1)求 12, 13；证明数歹d"是等差数列，并求所的通项公式.【解析】(1)由题意可得。22=4,则 Q2 = 2+4,又 Oi = I,所以。2=6.由 2。3 32=12,得 2。3=12+3。2,所以43=15.(2)由已知得汽九+1)/Z1(Z2÷1)=26Zn+ln+1Cln=2 n 所以数歹IJ拗是首项为岸=1,公差为d=2的等差数列, 则詈=1 +25 1)=2-1,所以 an=2n2n.【题型三】等差数列项的性质【典例1】设S为等差数列丽的前项和，且4 + q5 = 46 + 04,则曲等于(A. 72 B. 36 C. 18 D. 9【解析】Va+a4=2a59。5 = 4,.c 9(m+9) 9 =2一 %z5 36.故选B.【典例2在等差数列斯中，若2 +。4 +。6 +。8 + 10 = 80,则。7ga8的值为()A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【解析】 *.* 2 + 4 + 6 +。8 + 10 = 56 = 80,。6 =16,C16 + 48 = 27 9-1 J CTl 26 I 28 9611即 ch Ia8=6 = 8.选C.【典例 3】已知数歹U斯满足 2斯=九l + t+l("N2), Q2 + q4 + q6=12, 41+q3 + q5 = 9,则 b +Q4等于()A. 6B. 7C. 8D. 9【解析】因为2a=a-+(+,所以斯是等差数列，由等差数列性质可得。2 +。4 + 6 = 34=12,41+43 + 05 = 3 613 = 9 9所以 O3+q4=3+4 = 7.故选B.【题型四】等差数列前项和性质的应用【典例1已知等差数列z的前10项和为30,它的前30项和为210,则前20项和为()A. 100B. 120C. 390D. 540【解析】设为为等差数列丽的前几项和，则Sl0, S20 S10, S3。一§20成等差数列，所以 2(S20 Sl) = Sl + (S3O-S20),又等差数列z的前10项和为30,前30项和为210,所以 2(S2o-3O) = 3O+(21O-S2o),解得 Szo=IOO.故选A.【典例2】在等差数列如中，m = 2018,其前项和为若克一而=2,则&oi8的值等 于（）A. -2018B. -2 016C. -2 019D. -2 017【解析】由题意知，数列印为等差数列，其公差为L所以皤=学+（2018 1）X1 = -2018 JZ Uio 1+ 2017=-1.所以 S20i8= -2 018.故选A.【典例3】（2020全国）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心 有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（A. 3 699 块B. 3 474 块C. 3 402 块D. 3 339 块【解析】设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d=9,首项为a = 9 的等差数列.由等差数列的性质知Sn, Sl-Sn. S3-S2成等差数列，且（S&Q （S2八一SQ =ri2d9 则 9/ = 729,解得=9,