SF01数Ch12数项级数.docx
SFOl （数）Ch 12数项级数计划课时:14时P 1341552002. 03. 08.Ch 12数项级数(1 4时)§ 1级数的收敛性(3时)概念：1 . 级数：级数，无穷级数；通项(一般项，第九项)，前项部分和等 概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为与2 .级数的敛散性与和：介绍从有限和入手，引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本，定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数£ /的敛散性.n1 _ n1解 修|<1 时，Sn=jqk =-, (n).级数收敛；>t S”，级数发散；9 = 1 时，S"=zz + l+, (m),级数发散；4 = 1 时，5n =(l + (-l)w), (M),级数发散.1综上，几何级数 Yqn当且仅当"|<1时收敛，且和为(注意从。开始).=ol-OO1例2讨论级数y-的敛散性.=1 n(n +1)解用链锁消去法求SQ 参阅4P4950, P265267. rj例3讨论级数的敛散性. r Yln= 乙IC 123n- n一 S“ = V + r + -T +1- + -7772=> Sn > 2,(n > ).因此，该级数收敛.OO Q例4 讨论级数£上二的敛散性.Zi 5n-322 22凸=* ns> 小 *+, (m).级数发散.5-3 5n 5"53 .级数与数列的关系：un对应部分和数列, EKn收敛。 S”收敛；00对每个数列%,对应级数1+Z(z-%_),对该级数，有3“=%.于是, n=200数列 收敛 O 级数Xl + Z (Z -匕-1)收敛.n=2可见，级数与数列是同一问题的两种不同形式.4 .级数与无穷积分的关系：+00 +1+l(x)dx=E=Z%,其中册= j.无穷积分可化为级数；1=1 n « = 1n对每个级数，定义函数/(x) = Un , x< + l, = 1,2,，易见有00yEilrl = jf(x)dx.即级数可化为无穷积分n = l1综上所述，级数和无穷积分可以互化，它们有平行的理论和结果.可以用其中 的一个研究另一个.二. 级数收敛的充要条件 准则：把部分和数列 SzJ收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.Th （C4cy 准贝J ） yun 收敛。Ve >0, 3N, n> N 和 VP N, =>I un+l + un+2 + , + un+p I < £ 由该定理可见，去掉或添加上或改变（包括交换次序）级数的有限项，不会影响OO级数的敛散性.但在收敛时，级数的和将改变.去掉前k项的级数表为EUrl或 n=k+l00X+左.n=l系 （级数收敛的必要条件）Yun收敛=> Iimwn =0. n1例5证明2-2级数收敛.n=l几证显然满足收敛的必要条件.令 %=4，则当"2时有nlISI 4 I 111l%+ +W+2 + + I = X 2 < 21IX 4、=Z-<，k= （ + k）k=1 （n + k-1）（ + k） n n+ p n应用准则时，应设法把式I才册+kI不失真地放大成只含而不含的式子, k=T令其小于£,确定NOO1例6 判断级数ZMSinL的敛散性.ml几（验证孙>0.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件） 1例7（凡0但级数发散的例）证明调和级数发散.M n证法一 （用准则的否定进行验证）（参阅Ch8§lE2,在教案P84 ）证法二 （证明 Szz 发散.利用Ch 10习题课例2已证明的不等式ln( + l)<1h1F-<l + ln. 即得Szzf+, (zz). )2 n三.收敛级数的基本性质：(均给出证明)性质 1 EA 收敛，a Const => EaUn 收敛且有EaUn= a EKrI(收敛级数满足分配律)性质2 和收敛，n Z(%±V')收敛，且有Z(X ±V")=X ±X问题：、Z均、Z(X ±V")三者之间敛散性的关系.性质3若级数Z%收敛，则任意加括号后所得级数也收敛，且和不变.(收敛数列满足结合律)例8 考查级数£(-1)"从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该 n=l例的结果说明什么问题？Ex1P6-71 8(1)-(3);4P6-721, 22, 23.§2正项级数(3时)一.正项级数判敛的一般原则：1 .正项级数：un>0, Sn/;任意加括号不影响敛散性.2 . 基本定理：Thl设心o .则级数Z%收敛=Szl=(XI) .且当Z氏发散时，有Sn +, (zz).(证)正项级数敛散性的记法.3.Th 2例1解例2系1正项级数判敛的比较原则：设Z%和Z打是两个正项级数，且mN，>N时有册丹，则i> < + ， n < + ；ii> Z%= + , =>Z匕2= + ( ii> 是 i>的逆否命题)1考查级数的敛散性.n=l n n + 1n2 1 n12 ÷ 1 > 0, n - < - , 2n -n+l n11设0<p<q(q>2).判断级数£/sin "1的敛散性.式1q（比较原则的极限形式）设Z与和Z均是两个正项级数且吧:L=/,则i > O V / V +8时，EUn和共敛散；ii> / = O时，Zvz< + , => Z与< + ；iii> / = +8 时，Z乙=+oo ,=>Z 沅”二+00 .(证)系2若例3(1)OO1(1 + -n-l设Z%和 »八是两个正项级数，若 %=°<X），特别地，,(m ),则X<+ o X=+判断下列级数的敛散性：/ i i i / 1;();(2)sin t2n- 2n-n 2nStrI二.正项级数判敛法:1 .检比法：亦称为O'Me雨儿加判别法.用几何级数作为比较对象，有下列所谓检比法.Th 3设Z%为正项级数，且mN。及9(0<乡<1),">N°时i > 若"qvl , => yX< + ; unii> 若乜ill,=> e= + . un证 i不妨设1时就有5q<l成立，有Un q , Uq,，一,依次相乘，=> qnx,即un < u1qnl.由 O<q<l ,得 Z<+, => Z%< + ii> 可见册往后递增，=> UrI+0, (m).系(检比法的极限形式)设，以为正项级数，且Iimg 二夕.则 Jw uni > q<l , => Z"八 < + ;五> q>l或q = + , => Z沅,=+ .(证)倘用检比法判得Z%=+,则有Kn+0, (m).检比法适用于""和""+1有相同因子的级数，特别是乙中含有因子M者.例4判断级数2 25 258258 (2 + 3( 1)1 15 159159(1 + 4(-1)的敛散性.A731. n+ 2 + 3n 3解 Iim = Iim= < 1, n<+ .n-> n-> 1 + 4n 4J例5讨论级数T(X >0)的敛散性.M ur+ （n + l）xnn + 1z 、解 上_ = 1%> X, （）.un xn-i n因此，当O<x<l时，Z<+oo; %>1时，Z=+oo; % = 1时，级数成为Z，发散.r n+1 I例6 判断级数£工%的敛散性. 乙nn注意 对正项级数Z%,若仅有也<,其敛散性不能确定.例如对级数 UnY-和均有也<,但前者发散，后者收敛.n nunEx 1P191(1)-(7), 2(D(2)(4)(5), 3, 4, 12(1)(4)；4P31133 .2.检根法（Cay判别法）：也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4设Z%为正项级数,且mN。及/>0,当">N°时,i> 若 / <, => E”n<+；ii > 若 1, => EM = + .（此时有% > 0, （n）.）（证）系（检根法的极限形式）设52%为正项级数，且Iim 苏 =/.则i <, =><+；/> i, => Z% =+ .（证）检根法适用于通项中含有与几有关的指数者.检根法优于检比法.（参阅1P1516）例7研究级数 3 + （T）”的敛散性.L 2nIim 0% = Iim nn=><+例8判断级数z(宁)和的敛散性.解 前者通项不趋于零，后者用检根法判得其收敛.3.积分判别法：Th 5 设在区间l, + )上函数/(x)0且' .则正项级数与积分+ f(x)dx共敛散.1证对VA>1, R1,A且5)1 /(x)Jx (-l),=2,3,Jn-Immm-1合 W J1 f(x)dx < Ef 一l) = Ef(n), n=2n=2n=l1例9讨论-级数Z!的敛散性.n=l H解考虑函数/(X)=工，p>0时/(x)在区间l, + )上非负递减.积分Xp1级数F当P>l时收敛， n=l M+(x)dx当p > 1时收敛，0<pl时发散.二 10<pl时发散.JPVo时，>0,级数发散. npOO 1综上，级数当且仅当p>l时收敛. n=l H例10讨论下列级数的敛散性:OOn=2n(lnn)p00n=3n(lnn)(lnlnn)pEx 1P19-201(8),2(3)(6), 5, 6, 8(D-(3), 11；4P31134.习题课(2时).直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时，常用下列不等式： an >0,4 0, n - an + hn an 对%,有ISin*1, ICoS*1, ISin*%.Ia也vg(力+配)；特别地，有6Z1 O 1I00+=) ,nan an + ).n 2 n2(4) an >0时
