构造组合模型巧证组合恒等式.docx
构造组合模型巧证组合恒等式构造组合模型巧证组合恒等式证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成.但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明.即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式.例1证明Cnm=Cnm1+Cn1m1.分析：原式左端为m个元素中取n个的组合数.原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素a1,有Cnm-I种取法.一类为必取a1有Cn1m1种取法.由加法原理可知原式成立.例2证明CnmCpn=CpmCnpmp.分析：原式左端可看成一个班有m个人，从中选出n个人清扫卫生，在选出的n个人中,p人清扫教室,余下的nP人清扫环境卫生的选法数.原式右端可看成直接在m人中选出P人清扫教室，在余下的ITp人中再选出np人清扫环境卫生.显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的.以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比拟明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析.假设是几个数组合数相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，如例1,假设是几个数组合数相乘的形式，那么应进行适当的分步计算，如例2,当然，很多情况下是两者结合使用的.例3证明Ckm+n=C0mCkn+C1rCk-1n+C2mCk-2n+-+CkmCOn,其中当p>q时CPq=0.证明：原式左边为m÷n个元素中选k个元素的组合数.今将这m+n个元素分成两组，第一组为IT1个元素，剩下的n个元素为第二组，把取出的k个元素，按在第一组取出的元素个数ii=0,1,2,，k进行分类，这一类的取法数为CimCkin.于是，在m+n个元素中取k个元素的取法数又可写成？ki=OCirCk-in.故原式成立.例4证明Cnn÷Cnn÷1÷Cnn÷2HFCnn÷m=Cn÷1n÷m÷1.证明：原式右边为m+n+1个元素中取n+1个，元素的组合数，不失一般性，可以认为是在1,2,3j,m+n,m+n+1,共m+n+1个数中取n+1个数.将取出的n+1个数a1,a2，an+1由小到大排列，即设a1Va2Van+1,按取出的最大数an÷1=k+1分类，显然k=n,n÷1,，n+m.当k=n+i时i=O,1,2,m,这一类取法数为Cnn+i,所以取法总数又等于？mi=OCnn+i.原式成立.对于某些组合恒等式，有时其左右两边所表示的意义都不易看出，但是如果根据组合数的特点仔细分析，或对原式进行一些适当的变形，往往可以巧妙地构造一个组合问题做为模型，证明就可化难为易.例5证明C1n+2C2n+3C3n+nCnn=n2n1.分析：注意，原式左端等价于C11C1n+C12C2n+C1nCnn,这里C1iCin可表示先在n个元素里选i个，再在这i个元素里选一个的组合数，可设一个班有n个同学，选出假设千人至少1人组成一个代表团，并指定一人为团长.把这种选法按取到的人数i分类Ci=I,2,，n，那么选法总数即为原式左端.今换一种选法，先选团长，有n种选法，再决定剩下的n1人是否参加，每人都有两种可能，所以团员的选法有2n1种.即选法总数为n2n1种.显然两种选法是一致的.这里应注意2n的意义，并能用组合意义证明？ni=0Cin=2n.例6证明C1n+22C2n+32C3n+2Cnn=n(n+12n2.分析：此题左边与例5左边类似，不同的是例5左边为？ni=1iCin,而此题为？ni=1i2Cin.只要在例5构造的模型中加上同时还要选一个干事，并且干事和团长可以是同一个人，即可符合原式左边.对原式右边我们可分为团长和干事是否是同一个人两类情况.假设团长和干事是同一个人，那么有n2n1种选法；假设团长和干事不是同一个人，那么有nn12n1种选法.所以，共有n2n1÷n(n12n2=n(n÷12n2种选法.例7证明(C1n2+2(C2n2+3(C3n2+nCnn2=nC-12-1.分析：注意到Cin2=CinCn-in,可设一个班有n个男生与n个女生，在这2n个学生中选n个同学至少有1名男生组成一个代表团，并指定其中一名男生为团长，按选出的男生人数ii=1,2,，n分类，这一类有iCinCnin=iCin2种选法，总的选法有？ni=1iCCin2种.原式右边的组合意义是明显的，即直接在n个男生中选一名团长，有n种选法，再从剩下的2n1人中选出n1人为团员，共有nCn12n1种选法.掌握了用组合意义证明组合恒等式这种方法后，还可通过构造一个组合问题的模型，编拟组合恒等式习题.如在例5中除了要选一名团长外，还要选一名干事和一名联络员可以兼职便可得？ni=1i3Cin=n2n+32n-3.具体证法可参照例5与例6.又如，在例7中除了在2n个同学中选出n个团员及指定一名男生为团长外，还要有一名男生担任联络员可以兼职，那么可得组合恒等式：？ni=1i2(Cin2=nCn-12n-1+n(n-1Cn-22n-2.假设在例7中要求，留下的女生中再选一名负责人，那么有组合恒等式？ni=1i2(Cin2=n2Cn-12n-2.具体证明读者可自己完成.实际上习题的编拟过程就是用组合意义证明恒等式的过程.假设把恒等式中较简单的一边去掉，变为化简组合式，用此法同样能完成化简，读者可自己体会.用组合数的意义证明组合恒等式，除了对提高学生的智力及观察分析问题的能力有帮助外，还有它独到的好处，那就是把抽象的组合数复原为实际问题，能提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，把枯燥的公式复原为有趣的实例，能提高学生的学习兴趣.所以，老师在学过程中适当介绍一些这方面的内容，将是大有益处的.
