巧添辅助圆--妙证几何题.docx

巧添辅助圆妙证几何题1 .求角例1如图1,在AA5C中，AB=AC,NB的平分线交AC于D,BC=BD+AD,求NA的度数。解：作ABE）的外接圆交BC于E,连结DE。因为BD是NAgC的平分线CC所以AD=DE得AD=DE例2如图2,矩形ADEH是由三个正方形ABGH,BCFG和CDEF所组成，BH、CH、DH与AD所成的角分别为B、/o求证：a+=90oO证明：设AH=1,那么HB=Ji有HB2=BCBD作。O,使H、C、D都在。O上，那么HB为。O的切线例3如图3,AB=AC=AD,如果ZDACZCAB的k倍，那么NDBC是N3DC的倍。解：因为AB=AC=AD所以作以A为圆心，AB为半径的圆，使B、C、D三点都在。A上2 .证线段例4如图4,在7A5C中，NC=90。，NC平分线CE与斜边的垂直平分线DE交于E。求证:CD=DE。证明：作RAA5C的外接圆。D,那么圆心即为AB的中点D,作DE115交。D于E,由册'=£*'知例5如图5,在AABC中，BD1ACfCE1ABf。为A6C的外接圆圆心。求证：AO1ED证明：作AA5C的外接圆。O,过A作切线AF,那么NE4C=NA5C例6如图6,在AA5C中，AB=AC=BD是BC上的一点，且AD=I,求6DDC的值。解：以A为圆心，AB的长为半径作。A交AD、DA的延长线于E、F,那么点C在。A上由相交弦定理，得例7如图7,在AA5C中，ZB=2ZCo求证：AC2ABo证明：作AA5C的外接圆，在其圆上截取晶=晶，那么13。=显。连结BD、CD和AD,有例8如图8,在平行四边形ABCD中，过点A的圆分别交AB、AD、AC或其延长线于P、R、Qo求证：ABAP+ADAR=AC-AQ.证明：过B、P、Q三点作圆交AC于G,连结PQ、PC、BG、QR那么有ZBGC=ZBPQ=ZR因为BC/AR3 .面积例9如图9,AB=BC=CA=AD9AHTCD于H,SC交AH于P。求证：Saabc=-APBDo证明：因为AB=AC=AD所以B、C、D三点必在以A为圆心，AB为半径的圆上如图9作辅助圆，易知N2='nbac='X60。=30。224.判定三角形形状例10如图10,P、Q为线段BC上两定点,且BP=CQ,A为BC外一动点。当A运动到使ZBAP=ZCAQ时，A5C是什么形状的三角形？试证明你的结论。证明：作ABHAAC。的外接圆。a、OO2,那么。&、。2是等圆。连结公共弦AD并延长交BC于E那么AE垂直平分O1o2作OIMO2N1BC