重难突破微专题(九)导数中函数的构造问题.docx
重难突破微专题(九)导数中函数的构造问题一、依据求导法则构造函数【典例1】定义在R上的函数加)的导函数为了 若对任意实数X都有段讨,且加)÷ 9为奇函数，则不等式“r) ÷ 9ev<0的解集为()A (-8,0) B . (0 z + )( n n c .- ,- d . - z +/( X )【解析】选B.令g(x)= e-,因为外)"x),匚 / () -f()所以 gx) =<0 ,所以g(x)在R上单调递减.因为7U) + 9是奇函数，所以的)+ 9=0 ,即式0)= -9,贝(Jg(O)= -9./( X )不等式/U) + 9e-<0可转化为一 v - 9 ,C即g(x)vg(0),又g(x)在R上单调递减，所以x>0 ,则不等式於)÷ 9e<0的解集为(0 z + ).【典例2已知定义在(0 , +8)上的函数段)满足4(x)-段)<0 ,且42) = 2 ,则er) - ev>0的解集是()A . ( - , In 2)B . (In 2 , + )C . (0 l e2)D . (e2 z + )工/ ()W () - / ()【解析】选A.令g(x) = - - , gx) =2 <o z所以g(x)在(0 , +/(2)8)上单调递减，且g(2)= -5 = 1 ,故人切-9>0等价于目/(2)即 g(ex)>g(2),故 ev<2 ,解得 x<ln 2 ,故人切-e50的解集为(-8 , In 2).4技法点拨构造新函数的方法：(1)对于 (x)> , 构造 h(x) = fix) - ax+ b.对于 (x) +(x)>O(vO),构造 z(x) = (x)；一般地，对于 xf(x) + (x)>0(<0),构造 z(x)=yy(x)./( x)对于 xf(x)- x)>0(<0),构造 z(x)=-一 ；一般地，对于 (x) - (x)>0(<0),e/V/( X )构造%(x)=一厂./( X )(4)对于 (x) -4r)>0(<0),构造 z(x) = ；一般地，对于/(X)- (x)>0(<0),构造A(x)=()ex(5)对于了(%) +x)>0(<0) , 构造 A(x) = eXx)；一般地，对于了(x) + n(x)>0(<0) l 构造 z(x) = e,27(x).(6)又寸于(x)cos x +(x)sin x>0(<0) ,构造 (x)=(x)cosx(7)对于? >0 ,构造 z() = ln(x).(x)二、构造函数求距离(的最值)【典例3已知变量a l b满足b- - ； a2 + 31n a(a > 0),若点Q(m , )在直线y=2x + ；上，贝-m)2 + S - )2的最小值为()A . | B .C . 9 D . 3【解析】选A.由题意知，y = 2x + ；表示斜率为2的直线，变量。"满足匕=-I132 + 31n q ,设函数/(%)=-x2 + 31n % ,贝1)(x)=- x + ；,设当切线斜率为 2时，函数兀0图象的切点的横坐标为X0 ,则-xo + ：=2 ,所以0 = 1 ,此时切点40/切点到直线J = 2x ÷ 2的距禺d / , 所以3 -根)2 + S - 49的最小值为矛二处.一题多变若本例条件不变,试求( -m)2 + (Z? - )2取得最小值时m , n的值.【解析】由典例3的解析可知：点Q(m , )在过点(1 , - 1 )且与直线y = 2x + g r 1 f 1y = 2x + 2 /x= - 5 /垂直的直线上，即为直线产-山 上，解方程组j1 得' 1卜二-m，y = .所以m= -1 ，二去.S技法点拨构造函数求距离(的最值)的解题策略注意动点在怎样的函数图象上，依据函数解析式以及点的纵横坐标构造函数解析式；可将两点间的距离，转化为点与直线的距离;依据几何意义求最值.三、构造函数证明不等式【典例4】已知函数次x)=至；(x>0且/1).x - 1求函数/(%)的单调区间；证明：(x)ln.x÷ 1【解析】(l)(x) =2x ( x - 1 ) 2 1因为x>0且1 ,所以了(x)v。,则函数yu)的单调递减区间为(0, 1),(1, +8),无单调递增区间.2(x- 1 )In x -x+ 1则"(x) = -(-D2(x+ 1 ) 2 x ( x+ 1 ) 20,(2)(x)lnx -=2l-x+ 1 x- 12 (x- 1 )令 (x) = lnx , x>0 且 1.x+ 1所以当 x(0 f 1)时，(x)<O ,止匕时X%)ln x -囚工=(x)>O ；x+ 1 x- 1当 (1 , +8)时，(x)>O ,止匕时 (x)ln x -囚工=()>O.x+ 1 x- 1综上所述，当X>。且即时，©nx-善。，即 (x)lnx+ 1ev - 1【典例5已知函数./U) = , g(x) = ev.v求曲线户於)在点(1 , e - 1)处的切线方程；. .n 1(2)若正实数m , n满足危%) = g(n),求证：* >5.e'x - ( e' - 1 )【解析】(1)因为/(幻二3/所以/=1 1所以y=段)在点(1 , e - 1)处的切线方程为x- + e- 2 = 0.e'" - 1(2)Km) = g() , BP = e，心Ie' - 11，只要证e>e”，即证一为，Z / tr即证即-1-me7 ,?7>0 ,故只要证当加。时有e， -1 - me /,7>0成立即可.乙1令 A(x) = er - 1 - xe7 (x>0) iI 111则 f (x)= e" -e；' - 2xev = ev-2x ，人1 I令 m(x)= e； ' - 5 x - 1 (x>0),|1 I贝口 mf(x) = e： - 5 >0(x>0),乙乙1所以 m(x)>m(0) = 0 , BP e； - 1 - y >0 ,一乙1所以 h'(x) = e； v1)-2xl >0，所以 z(x)>z(O) = 0 ,1n 所以 h(m) = e/n - 1 - me /l>0 ,所以: >y .，0 /技法点拨1 .构造函数法证明不等式移项，使不等式右边为零，左边构造为新函数.求导判断单调性，通常要对参数分类讨论.根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证.2 .形如(x)>g(x)的不等式的证明首先构造函数h(X)=» - g(X),借助导数求A(x)min ,证明(x)min > 0.如果不等式既有指数又有对数，求导不易求最值，可合理分拆和变形，构造两个函数，分别计算它们的最值，利用隔离分析最值法证明.
