重难突破微专题(六)立体几何中的探索问题.docx
重难突破微专题（六）立体几何中的探索问题一、存在性问题【典例1如图，在四棱锥P-ABCD中，平面¾Q，平面ABCD , PA±PD , PA=PD , AB±AD , AB= , AD = 2 , AC=CD = y .（1）求证：2。，平面%5.求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.在棱PA上是否存在点M，使得平面PCD ?若存在，求笔 的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）因为平面平面A3CO，平面¾DS ABCD = AD lAB±AD lABCS ABCD ,所以A3J_平面¾D所以又因为 PALPD l PAAB = A l所以尸。，平面PAB.(2)取AD的中点0 ,连接PO , CO.因为PA = PD l所以POLAD.又因为POU平面PAD ,平面平面 ABCD ,平面¾) ABCD = AD l所以POJ_平面A3CD因为COU平面ABCD ,所以POLCO.因为AC=CD l所以C0_L4D如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得，A(0 , 1 , 0) , 8(1 , 1 , 0) , C(2 , 0 , 0) ,。(0 , - 1 , 0),尸(0,0 , 1).则力二(0 , - 1 , - 1),巾=(2,0, - 1),防二(1 , 1 , - 1),设平面PCD的法向量为n = (xly , z).pt)n = 0 - y - z = 0 ,则彳即 ，Ptn = 02x- z = 0.令 2 = 2,则 x=l ,y= - 2.所以 =(1 , -2 , 2),又冲=(1,1, - 1),所以cos，踮=-坐.所以直线与平面PC。所成角的正弦值为坐.存在点M ,即当第时，平面PCD.理由如下：设M是棱抬上一点，则存在g , 1,使得笔=九因此点m（o, m四二（-1,因，丸）.因为aw平面PCD ,所以要使3"平面PCD ,当且仅当翁n = Oz即（-1 , T"）（l , -2,2） = 0.解得2 = ： .所以在棱PA上存在点M，使得平面PCD l此时笔=1 .S技法点拨对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式,解出参数.S变式训练（2021.临汾二模）如图，在半径为小的半球0中，平行四边形ABC。是圆0的内接四边形，二也 ”,点P是半球面上的动点，且四棱锥P-ABCD的体积求动点P的轨迹7围成的平面图形的面积；是否存在点P使得二面角P-AD-B的大小为三?请说明理由.【解析】(1)由已知条件可知，平行四边形A3CO为矩形，8。= 26,因为 4。=啦 AB l AD2 + AB2=12 l所以AD = 22 z AB = 2 l四边形ABCD的面积为42 ,设点P至J底面ABCD11Q的距离为 h ,则 Vp-abcd = ×5 矩形 A8czz = 3 ×42 h = l 解得 z = 2 ,所以点尸在到底面43C。的距离为也 的平面内，又因为点P是半球面上的动点，所以点P的轨迹为半径r = 32 = 1的圆，所以围成的面积S = r2 = .JT (2)存在点P使得二面角P-AD-B的大小为w ,理由如下：以底面圆的圆心0为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-qz ,z由可知 A(也 / - 1 f 0) f 0( - 2 , - 1 , 0),设P( , /乙也),易知a1 + b2=l l设平面ADP的法向量为n = (xly l z) lDA = (22 , 0 , 0),劝=(-2 , /? + 1 , 2 ) zhDA = 22x = 0A?= a - y2 ) x+ ( + 1 ) + y2z = 0-2则二(0 ,-也,/?+!)/由题意可取平面ABCD的法向量为m二(0 , 0 , 1),若要满足题目条件，则/x÷1cos (m , n) =/1×2+ ( + 1 ) 2所以存在点P使得二面角P-AD-B的大小为全.二、折叠问题【典例2】如图所示,已知在长方形ABCD中，A3 = 2AO = 2霹，M为QC的中点，将4ADM沿AM折起，使得AD_L8W.(1)求证：平面平面A8CM ；、2右石点满足5¢ = Bt),求面角E-AM-D的大小？【解析】(1)因为AM =5斤茄忌=2 + 2 =2 l BM = BC2 + CM2 =业 + 2 =2 ,所以AM2 + 3M2 = 8=AB2 ,所以AM_L8M ,又因为 ADA.BM , ADAM = A ,所以创/_1_平面ADM ,又因为3MU平面ABCM ,所以平面平面ABCM ；取AM中点。，连接。0,因为D4 = DM,所以OOJ_AM,又平面 ADn平面 ABCM AM ,平面平面 ABCM ,所以。0_1_平面ABCM ,以0A方向为x轴,过0垂直于AM方向为y轴，0D方向为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：由条件可知：A(l , 0,0) , M - 1 , 0,0) , 8( - 1 , 2,0),因为AM= 1 ,所以。(0,0, 1),则沉)二(1 , -2,1),设 E(Xe i yE , ZE),24又因为碇=f Bt)，所以j"-2=-q ,2lZ£ = 3122所以3-"4，亨),222所以破二(-2,0,0),碓=( , 3 , 3 ) ,取平面AMD的一个法向量h = (0 z 1 , 0) ,设平面AME的一个法向量fi2 = (x,y lz) l沏“2 = 0fx = 0因为彳，所以彳，取y=l,½,2 = 0y + z = 0所以"2二(0 , 1 , - 1),r-r-x/11 71212所以cos |,2 =而两=萩 =2由图可知二面角E-AM-。为锐二面角，所以二面角E-AM-D的大小为45°.4技法点拨通过线段长度关系证明AMLBM ,由此可证明3M，平面ADM ,根据面面垂直的判定定理可完成证明；通过证明垂直关系建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面AME.平面的一个法向量，然后根据法向量夹角的余弦值结合图形求解出二面角的大小.变式训练（2021 .南京二模）已知平行四边形A3C。中，NC=60。，点E在AO上，且满足E A DBC = 2AB = 4AE = 4 zWABE沿BE折起至尸BE的位置，得至I四棱锥P-BCDE.求证：平面以加,平面BCDE ；若二面角P-BE-D的大小为120° ,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【解析】（1）在4人5£中，A8 = 2 , AE = 1 , NA = 60° ,由余弦定理得BE2 = AB2+ AE2 - 2BAEcos 60。= 3 ,所以 B尸+ A尸=AB2 ,由勾月殳定理矢口 BE±AE.刀 I mJ口 / XU D乙，, L /乙 /因为PEDE=E ,所以3后_1_平面PDE ,又8EU平面BCDE ,所以平面尸。石_1_平面BCDE ；(2)因为BELDE , BELPE ,则NPED即为二面角P - BE - D的平面角.以E为坐标原点，口，曲所在的方向分别作为 , y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.于是。(3, 0,0),3(0,小3,0) , P( - ； , 0 ,坐),4,53/O/Z7 J=%-。)，所以油=设平面PCD的一个法向量n = x , y l z) znJyt = OnPt) = 0? ÷3 - 2 z,二。1-1 = o令X1=小，则y = - 1 , Z1 = 7.所以n = (3 , - 1 , 7)即为平面PCD的一个法cos < n t F >n g _ -43lw7¾5321532T53设直线PB与平面PCD所成角为。,则sin。= cos <n , P>所以直线PH与平面PC。所成角的正弦值为岁.
