重难突破微专题(二)求数列的通项..docx
重难突破微专题(二)求数列的通项、S1 ( Z2= 1 ),一、已知，求斯，用作差法：an- jSn - Sn- ( ri>2 ).【典例1】(2021 .重庆二模)已知数列z的各项均为正数，前项和为Sn 4S"=3 + I)2.求0,42 ,。3的值；求数列的通项公式；若2 > %恒成立，求实数2的取值范围.【解析】(1)令1得4S1 =40=3 + 1)2 z故二 1令二 2 得 4(2 + 1) = 3+ I)2 ,又。2 >。，故。2 = 3 ,令 =3 ,得 43 + 4) = (。3 + I)2 ,又 3 >。，故 3 二 5 ；(2)4S. = (+1)2 ,当 ri>2 时,4S-1 =(。+ I)?,相减整理得(。 + an-1)( - -1 - 2) = 0 ,因为 cn + -1 > 0 f 所以 an - an -1 - 2 = 0 , n>2 ,所以数列4"是公差为2的等差数列，故 an = 1 + (n - 1)×2 = 2n - 1 ；2/7 - 1 _2n - 13-2由 > 2 恒成立/令 Cll = 2，C+1 - C= - 2= 9,z+1 f n=l 时为正，>2 时为负.3。2。3。4。5.。7的最大值为。2二,/( 1 ) ( = 1 ) z二 已知 Q1Q2/ an0 l 求为, 用作商法：an- /(72)【典例2 （2021 ,平顶山二模）已知数列的前项和为S, Sn = n2an fa = l l则5尸（）(+ 1 )2n - 1【解析】选A.当n2时，Sn = rran ,则 Sn+ = (n+ 1)2+1 ,且 S2 = 2262 , 即 1 + Q2 = 4。2 ,所以。2 = W .两式作差得 Sn + 1 - Sn ( + 1 )% + 1 - Cln l即 an+ = (n+ 1)2。 +1 - n2an l 即( + 2)+1 = an ,a+1 n . n 所以丁 = - ,即4 = - (h>2).an + 2 斯-1 n + 1anein *1 斯-2。3Cln 。2an - 1 斯-2 斯-3a2 -1-2-322= 7 «2 =+1 n - 14(+1)22n所以s =庐 , / 一 二*；.( + 1 ) n + 1二、已知 01+ 1 fri) , 求 Cln l 用累加法：Cln - Q,? - 1) + (Cln - 1斯-2)+(2 - Qi) + a =f(n - 1) +£n - 2) + . +/(1) + qi("2).【典例3】设S是数列跖的前几项和，+ 2 + 3S")-(3S"+i + Sl N*),且= 2 , 6/2 = 6 , a3= 12.求证：数列斯+L为等差数列；求数列。，的通项公式.【解析】当n2时，由(工+2 + 35n)-(3Sn÷, +5n-) = 2 ,可得+2=2(n>2 , nSl 1) - 3(S+1 - S) = 2 ,即+ 2 + 4 + 1 ÷ dn - 3+ I = 2 ,整理得+ 2 - a+1)-(。 +1= 2 z则数列+从第二项起成等差数列.因为防=2 , 2 = 6 , Q3 = 12 ,所以3 -。2)- (。2 -。1)= 2 ,符合上式，所以数列Z+LZ是等差数列.(2)由知 + - an = 4 + 2(n - 1) = 2( + 1).当 2 时，Cln - Cln - 1) ÷- 1 一- 2)+ . + (2 一。1) += 2 + 2(/1 - 1 ) + . ÷2×2 + 2 = n(n ÷ 1) z又由0=2 ,经验证也符合上式，所以数列a“的通项公式为扇=(+ 1)5N*)._ Cl +1ln - 1/77四、已知一 二Rn)，求a，用累乘法：an- .( =八 - 1)负-anan- a.2 a2).(1)qi52)【典例4已知以是等差数列，其前n项和为S",若。3 - 2 ,- 2 ,历+ 2成等比数列且d , 2Sn = (n+l).求数列。的通项公式；(2)设d=1 +2-。，数列勿的前项和为T，(1<,4<旭恒成立, +1求实数m的目值范围【解析】因为2S = (+1)%,贝口 2Sn- =an- l (>1)两式相减得2期 二( + 1- nan -1 z即("-1 )an = nan. , (n> 1)an，(心 1)cin- 1 n - 1所以如=Cln02Cln - 2a41 =n - 12××.× ×6n = na(n>) z-2 j当几二1时,也成立,所以an = na ,因为(。5 - 2)2 = (a3- 2)(617 + 2),即(5m -2)2 = (3© -2)(7©+2),化简得：山-3 + 2 = 0 ,解得©=2或©=1.当© = 2时，斯=2，d=2满足条件.当© 二 1时，d = 1不满足条件.所以an = 2n.(2)。 = - - +2 - an= +2.2arran+12×2 ( + 1 )19+lz1平 1-411 11z(1 - 4+!71 +九1- =4 (1 '7h ) + 3 0 -4+3 =12，_7V N , Tn < m怛成立,所以m> .五、构造等比数列法:若已知数列“中,an +1 = pan + <7O ,pl ,q0) la-1 - 则数列%+广就是以0+q 为首项，p为公比的等比数歹I. 'JP - 1【典例5已知数列的前n项和为Sfl l a = 4 l Sfl = + + 2.(1)证明数列s“ - 2为等比数列，并求出S“；(2)求数列2的前项和Tn.【解析】由已知= ；+I-SJ + 2,整理得，*+ = 3S -4,所以 5,7+i - 2 = 3(Sz - 2),当九二1 时，S 。2 + 2 = 4 ,所以B - 2是以S - 2 = 2为首项，3为公比的等比数列，所以5,-2 = 2x3" -1 ,所以 S = 2x3+2 ；(2)由知，S = 2x3+2 ,当二 1 时，Qi = Si = 4 ,4ln=l1当 2 时，an - S - Sn - = 4x3 - 2 ,所以 q =,故；7 =4×3-2 , n>2 n2>-/1 2= 国/ X-4 1- 4 .<1- 4=1寸日11=当，当 n>2 时7 ÷- +Cl Cl21- 4=5-8-忘，对E也满足故丁4 一小(心*).六、倒数法：若atnan -1k(am+b)(mW° '论2),取侄擞，令为/ ,则可转化为bn+ = pbn + q(pO , Pl ,可0)型【典例6已知数列小中，© = 1 , an+ -5N), + 3证明：数列+3是等比数列；求数列斯的通项公式.【解析】由 + =-(£N*),知 +； =3已+ ； + 3册+i 2勿7 113又 7 +2 =2，I13所以十+? 是以a为首项,3为公比的等比数列.cin 乙NI 33(2)由(1)知力 +2 =2 ×3,71 =y所以%3,7 - 1
