解析几何中若干经典结论及其应用——结论部分.docx

解析几何中若干经典结论及其应用结论部分一、定点类结论结论1设AB是圆锥曲线C的弦，点A关于X轴的对称点A(点4,B不重合)，且AB过点P(0).(1)若曲线C为椭圆三+=Im则直线AB过定点°(Q,0)；abt(2)若曲线。为双曲线1=1(>0,>0),则直线AB过定点°(Q,0)；abt(3)若曲线C为抛物线y2=2px(p>0),则直线AB过定点Q(T,0).结论2过圆锥曲线上的一个定点M(X0,%)任作两条互相垂直的弦MPMQ,若曲线为非等轴双曲线，则直线P。必过定点；若曲线为等轴双曲线，则直线PQ斜率为定值.(1)若M在椭圆鸟+=1(。>>0)上，则P。过定点(4/1aba+ba+b/22(2)若“在双曲线七-斗=Im>0,>0)±,ab当b时，P。过定点(g/,4%)；当=b时，PQ的斜率为&；ub(2b/(3)若在抛物线y2=2px(p>0)上，则P。过定点(XO+2p,-%).结论3A,B是抛物线/=2衣(>0)上异于顶点的两动点，点加(为,%)为抛物线上一定点，过M作两条弦M4,MB.(1)若左M4G=机(非零常数)，则直线AB过定点-女，-%)；(2)若UkMB=R(非零常数)，则直线AB过定点(%-生,女-%)；(3)若直线M4,的倾斜角分别为圆尸，且1+分=佻0<8<兀)为定值，当制变化时，直线AB过定点宿-卫士-2p,d%).tantan。)一般结论：A,B是圆锥曲线上两动点，点又为其上一定点，MA,的倾斜角分别为,则以下条件均可得出直线AB过定点：左M4跖8=机(非零常数)；kMA+kMB="(非零常数)；1+分=8(0<8<兀)为定值；M4w为常数.结论4已知点P为圆锥曲线上一点，若曲线在点尸处的切线交准线于点A,则以线段以为直径的圆恒过与该准线对应的焦点.22结论5已知曲线三±当=1的左顶点为A,过右焦点方的直线交曲线于点B,C,直线ABAC分别交右准线于点，N,则以MN为直径的圆必过尸.注：在抛物线中，将抛物线的一个顶点看作在无穷远处，有类似结论成立.结论6已知AB是过圆锥曲线的焦点尸的弦，E是与焦点厂相对应的准线/和圆锥曲线对称轴的交点，点C在/上，则直线AC过线段E方的中点的充要条件是E尸.推论1若尸是圆锥曲线的焦点，E是与尸相对应的准线/和圆锥曲线对称轴的交点，AB是过焦点方的弦，FEBC,N是线段E方的中点，则BC与AN的交点C在准线/上.推论2若尸是圆锥曲线的焦点，E是与尸相对应的准线/和圆锥曲线对称轴的交点，点B在圆锥曲线上，点C在准线/上，FEBC,N是线段EF的中点，则直线B厂与CN的交点A恰在圆锥曲线上.结论7已知椭圆过椭圆内无轴上一点(m,0)任作两条相互垂直的ab弦AB,CD,设W,N分别为AB,CD的中点，则直线MN必过定点(恚3,0).二、定值类结论A22.1与土勺有关的结论a结论8(1)已知N是椭圆5+=1(。>>0)上关于原点对称的两动点，P是椭圆上ab异于W,N的一点，若直线PW,PN均存在斜率，贝|七/两=-与；a(2)已知跖N是双曲线鸟-W=I(Q>0,>0)上关于原点对称的两动点，P是ab双曲线上异于N的一点，若直线尸W,PN均存在斜率，贝IJ七pn=ja22结论9(1)已知N是椭圆J+与=Im>>0)上的两动点，P是线段MN的中点，ab。为坐标原点，若直线OaMN均存在斜率，则七/MN=与；a(2)已知N是双曲线鸟-*=1(1>0,>0)上的两动点，P是线段MN的中ab点，O为坐标原点，若直线OPMN均存在斜率，则ZoWMN=4.a22结论10已知M(X1，%),N(X2,%)是椭圆毛+右=1(。>>。)上的两动点，AOMN的面ab积为S,点N均不在坐标轴上，O为坐标原点，则以下五个命题等价:0%=-4；才+考="；父+工=；a®S=ab；®OM2+ON2=a+b2；若P为椭圆上一点，ROP=AOM+ON,则分+筋=1.结论已知圆锥曲线：/(8y)=A2+c/+瓜+4+方=o上一定点P(X0,次)，过P作倾斜角互补的两条直线PM,PN分别与交于异于P的两点，N,则直线MN的倾斜角为定值.2222注：若曲线为椭圆卷+斗=1(>6>0),贝UZOPkMN=与，BPkMN-0；abaaj0222H若曲线为双曲线卷=1(>0,>O),则kOPAMN=与，BPkMN-厂；abaay0若曲线为抛物线=2px5>0),则左二二.%该命题的逆命题也成立.证明：当点P在曲线：/(羽y)=A+cy+m+a+JF=O的对称轴上时，直线MN的倾斜角为0°或90°,结论显然成立；当点P不在曲线的对称轴上时，直线PW,PN,MN的斜率均存在且都不为零,此时条件可设为左PM=左，kPN=-k,设M(X1，%),N(X2,J2),则/(,%)=。，/(再，%)=。，/Gmy2)=0由/(石，¾)-(¾%)=。，两边同时除以-0，得。(+%)+石左+。+4%+/)=。，同理C(%+%)+£(左)+D+A(x2+xo)=O，+，得C(y%)+A(X+9)+2。+2Ax0=O，得A(jq%)+。左(+%)+2欧+2C=0，又X%=k(%-x0)，%一%=一左(%2%)，所以X1+%=J(X-%)+2，X+%=Mx1-x2)+2j0.K两式相除，得上W=21二匹=乡土券(定值)x1-x2E+2Cy0所以当/(%,)=9+5-1=0时，1=圾;abaX)2v2n2当/(,>)=当_m_1=0时，左MN=产;当f。，y)=y2-2p=。时，kMN=.%2.2与有关的结论结论12已知曲线£：鸟±斗=1(0,>0)的左右顶点为A-,O),B(a,O),点Qo,)ab(mnO,机士)不在曲线E上，QA,QB分别交石于C,D,直线。交X轴于点P,则有。尸OQ=".注：曲线E可以表示焦点在X轴或y轴上的椭圆，也可表示双曲线，结论一致.22结论13(1)已知A,B为椭圆毛+2=1(">"0)上两动点且关于X轴对称，P为X轴上ab一定点，连结册交椭圆于点，则恒过定点Q,且有。尸.OQ="(2)已知A,B为双曲线鸟-*=1(1>O,"0)上两动点且关于X轴对称，P为X轴上一定点，连结朋交双曲线于点则恒过定点Q,且有。尸.OQ="(3)已知A,B为抛物线y2=2px(p>0)上两动点且关于X轴对称，PQa,0)为一定点，连结以交抛物线于点“，则恒过定点Q,且有。尸。=-22结论14(1)设A,B是椭圆三+5=1(>>0)长轴上分另IJ位于椭圆内(异于原点)，外ab部的两点，若过A点引直线(直线不与坐标轴垂直)与椭圆相交于P,。两点，RZPBA=ZQBAf则点A,B的横坐标满足乙二4；22(2)设A,B是双曲线牛-2=1(Q>O,"0)实轴上分别位于双曲线一支内(含ab焦点的区域)，外部的两点，若过A点引直线(直线不与坐标轴垂直)与双曲线的这一支相交于p,。两点，Rzpba=Zqba,则点a,B的横坐标满足XaXb=O2.2.3焦半径公式22结论15(1)已知椭圆为+=1(。>0)中，弦AB过左焦点R且倾斜角为仇ab点A在X轴上方，贝UAb=-Jz,BF=-Jz.a-ccosa+ccos22(2)已知双曲线与-2=1(q>0,10)中，弦AB过左焦点F且倾斜角为仇ab点A在X轴上方，贝UAb=一乙飞，BF=一匕Fa+CCOSC/a-ccosu(3)已知抛物线=2px(p>0)中，弦AB过焦点F且倾斜角为仇点A在X轴上方,则."事,BF二.注：在(1)(2)中易得A1=丁2嗖2若左焦点改为右焦点，其他条件不变,a-ccos贝UAb二一亡F，BF=一白工.4+CCOS"-CCOSC/结论16(1)设直线/过椭圆W+=1(>>0)的一个焦点尸，且与椭圆相交于P,Qab两点，若PF=In,FQ=n,则工+1=与(+=).mnbnIneP22设直线/过双曲线q-=1(a>O,"0)的一个焦点尸，且与双曲线的同一ab支相交于P,。两点，若PF=m,FQ=n,则工+工=冬.mnb2(3)设直线/过抛物线y2=2px(p>0)的焦点尸，且与抛物线相交于P,。两点,若PF=m,FQ=n,贝1)工+1=2.mnp注：以上结论利用结论15极易获证.结论17在圆锥曲线中，设过焦点尸且不垂直于坐标轴的弦为AB,其垂直平分线和焦点所FRP在坐标轴交于点R,则笠=.AdZ2. 4与垂直有关的结论结论18(1)已知。为原点，P,。为椭圆M+W=1(>>0)上两点且。贝IJab3+二二+二，。到一。的距离为d.OP2OQ2a2b27TF(2)已知。为原点，P,。为双曲线鸟4=I(O<<)上两点且贝Uab-y+=2T2'。至UPQ的距禺为/.OP2OQ2a2b西方结论19已知O为原点，P,。为抛物线丁2=22%(2>0)上两点且02，。0,则Szxg024p2.结论20(1)若AB,CQ是过椭圆片+工=1(>10)焦点的弦，且AB1S,ab贝|)工+，二之£ABCDIep(2)若AB,CQ是过双曲线鸟W=Im>0,>0)焦点的弦，且AB1CDab则:+士二j(3)若AB,CD是过抛物线=2px(p>0)焦点的弦，且则JJ_=J_ABCD2p.注：其中e为圆锥曲线的离心率，?为焦点到相应准线的距离.三、定轨类结论结论21已知M(X-%),N(X2,%)是椭圆M+4=1(""。)上的两动点，。为坐标原ab点，贝IJ七“ON=-4与以下命题等价：a22线段MN中点的轨迹方程为+=;ab222若动点P满足OP=AOM+ON,则P点的轨迹方程为+=12+.ab注：命题与结论10中六个命题均等价.结论22设定点Q(X0,%)不在圆锥曲线+JDX+d+jF=O上，过。作直线交曲线于W,N两点，P为动直线MN上异于。的另一点，且满足腐=需，则P点的轨迹是直线AVC+屋。厂+Cy0j+。三园+石乙丸+F=O或其局部.证明：设V(A1,%),N(x2,y2),P(X,y),贝UAxf+Bx1y1+Cy1+Dx1+Ey1+F=0,Ax1+Qvf+DX2+Ey?+F=0,所以AVC+5玉手+CyC)y+D弓区+石号+方Ax?-AA2XBxy1-Bx2y2Cy?-CyDx1-A2Dx2Ey1-A2Ey2F-A2F=11111I-I2I-I2I-I2I-I2I-I2I-I2=：；+C；+Dx1+Ey1+F)-22(Ax；+Bx2y2+Cyf+Dx2+Ey2+/)=Tj训=。此时P点的轨迹是直线Ax+5百妥乃+Cy+。三区+石乙丸+方=0在曲线内的部分.同理易证得，当点。在曲线内部时，P点轨迹为直线本身.22结论23过椭圆为+=1(。>>0)外一点尸向