题型5 与函数的对称性相关的零点问题.docx
墓型5S徐剧的对称喉知关的零点问奥【方法点拨】1 .若单调奇函数八工)满足大)+八份=0,贝1a+=0.一般的，若单调函数八工)关于点(a,n)对称，且满足犬)+犬方)=2%则a+b=2m.2 .对于具有对称性的函数零点问题，要注意检验充分性，以防增解.【典型题示例】例1若函数/(%)=(1丫+也+x1存在X(XN*)个零点，则所有这些零点x-1的和等于.【答案】2b【解析】设且()=/(%+1)=依3+一+%,则g()为奇函数，其图象关于坐标原点对称所以/(X)的图象关于点(1,0)对称，故其与X轴的交点也关于点(1,0)对称所以X)的所有零点的和等于X.例2设函数/(x)=(x3p+x-1,数列“是公差不为0的等差数列，/(¾)+(¾)+(7)=14,贝IJQ1+&+%=()A.0B.7C.14D.21【答案】D【分析】根据函数值之和/(%)+/(%)+/(%)=14求自变量之和q+4+%,很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数/(x)=(x-3)3+x-1的对称中心.函数/(x)=(X-3)3+%-1可以视为由y=(%-3)3与y=x-1构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移，/(x)-2=(x-3)3+(x-3),引入函数F(x)=f(x+3)-2=X3+X,则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出/(%)=(%3)3+x1的图象关于点(3,2)中心对称.【解析】“是公差不为O的等差数列，且/(%)+Q)+/(%)=14(Q-3)3+%1+(2-3)3+C12-1+(%-3)3+C1-1=14(6+&+%)7=14.a1+a2-%=21例3已知函数/(X)=2%+(靖一1+£一"+1)有唯一零点，贝1斫()1 11A.B.C.D.12 32【答案】C【分析】如果利用导数研究/(%)的零点，就会小题大做，容易陷入困难.由函数与方程思想，函数的零点满足2%X2=a(x-1+1"x).设#(D=1p-二+"V显然g(x)是由函数丁="十二向右平移一个单位而得到，易知y=+H”是偶函数且在0,+)上是增函数.故g(x)关于直线X=I对称，且在1,+)上是增函数，在(一8,1上是减函数，g(%)min=g(D=2.设MX)=2x显然MX)=2xV关于直线1=1对称，顶点为(11).若<0,则函数y=g(x)关于直线=1对称，且在1,+8)上是减函数，在(8上是增函数，最大值为21,2<z(x)ma.若y=Qg(X)的图象与MX)的图象有一个公共点A,根据对称性必有另一个公共点B.所以，O不合题意；若。0,函数y=Qg()关于直线X=I对称，且在1,+8)上是增函数，在(-,1上是减函数，最小值为2。.若y=Qg(x)的图象与力(X)的图象只有一个公共点，必有2=1,得a=.2【解析】f(X)=(%-1)2+aex-+"+1)-1,令g(x)=(x+1)+1=%2+1(靖+1%)则易知g(x)是偶函数,所以f(x)图象关于直线X=I对称，欲使/(x)有唯一零点，必有/(1)=。，即2q1=0,所以二工.2【解析二】%2-2x=(e-1÷e-+1),1。2(%1)1设g(x)=e%+er+,gr()=cx1-cx+1=cx1-'i=晟77I,当/(x)=0时，X=1,当x<1时，g,(x)<O,函数g(x)单调递减；当x>1时，g,(x)>O,函数g(x)单调递增，当x=1时，函数g(x)取得最小值g(1)=2,设z(x)=2-2%,当x=1时，函数取得最小值一1,作出一g(X)1与z(x)的大致图象如图所示.若一4>0,结合选项A,Q=-2时，函数/Z(X)和一Qg(X)的图象没有交点，排除选项A；当一。<0时，一ag(1)=/Z(I)时，此时函数z(x)和一g(X)的图象有一个1交点，即一x2=1>=2,故选C.例4已知关于%的方程/+21og2(x2+2)+6Z2-3=0有唯一解，则实数。的值为【答案】1【分析】利用隐藏的对称性，易得式0)=0,求得Q=I或。=3,再利用数形结合，将增解舍弃.【解析】通过对函数“x)=N+2Hog2(N+2)+q2-3的研究，可发现它是一个偶函数，那么它的图象就关于y轴对称，若有唯一解，则该解必为0.将X=O代入原方程中，可求得a=1或a=-3.这就意味着，当a=1或Q=3时，原方程必有一解0,但是否是唯一解，还需进一步验证.当Q=I时，原方程为2+21og2(N+2)-2=0,即21og2(N+2)=2-/,该方程实数根的研究可能过函数y=21og2%和函数丁=4一的交点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当a=3时，原方程为炉一61og2(2+2)+6=0,即N+6=61og2(2+2).通过研究函数y=4+%和y=61og2%可以发现，此时原方程不止一解，不合题意，需舍去.点评：犬0)=0仅是函数存在零点的必要条件，要注意检验充分性，一般是代入检验进行取舍.【巩固训练】1 .已知函数於)是偶函数，且当x>0时，为0=InX办，若函数危)恰有5个零点，则实数。的取值范围是.2 .若函数/(£)=/+2QN+4/3的零点有且只有一个，则实数Q=.3 .若函数/(x)=2-mcosx+机2+3加-8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为.4 .已知函数"X)=X22x+o(+e+i),aR,则函数/(x)零点的个数所有可能值构成的集合为.5 .函数>=的图象与函数y=2sin»x(2%4)的图像所有交点的横坐标之和等于X1()A.2B.4C.6D.816 .已知函数;mHVR)满足/(-x)2-o,若函数：与；门口图象的交点X为(XFj(W.pJ.(.1.1).则()A.0B.mC.2mD.4m7 .已知实数x、y满足(X+)Y+1)(y+Jy2+)=,贝炉36x6y+2023的值是.2Y+48.圆J+J+6-4y=0与曲线y=相交于A,B,C,D点四点，O为坐标原点，则%+3OA+OB+OC+OD=.9 .已知函数/(x)=2%+2：函数8(%)=少一2°21|24C(X2023)2/有唯一零点，则实数a的值为.函数=+e2)+2-4X的所有零点之和为().【答案与提示】1 .【答案】(O,e)【提示】分离函数，问题即为x>0时，z(x)=1nx与g(x)=Q'的图象恰有2个交点，利用导数求出当二e时，相切为临界值.2 .【答案】a=-2【提示】同例4,利用加0=0,求得=±XI,而当Q=且时，不满足题意，应舍去.223 .【答案】m=2【提示】发现«x)是偶函数，故得到大0)=0,立得m=2或m=-4,难点在于对机=4的取舍问题.思路有二，一是“分离函数”，利用“形”助数；二是利用导数知识，只需当x>0时，函数恒增或恒减即可.4 .【答案】0,1,2,4【提示】见例3.5 .【答案】B【提示】根据对称性易得答案.6 .【答案】B【分析】该题设计抽象函数/(%)关于点(0)成中心对称，函数V=由奇函数y=AX向上平移一个单位得到，也关于点(0,1)成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于wmJnm点(o,)成中心对称，-卜)-Z七+£%,考虑倒序相加法，可得EXi=0,111mEy=加，故加.17 .【答案】2023【提示】两边取自然对数得In(尤+JX2+)+n(y+yy2+1=0设/(x)=In(x+X2+1),则易得其为R上的单增奇函数所以x+y=0,故X2-3xy-4/-6x-6y+2023=(X+y)(x-4y)-6(X+y)+2023=2023.8 .【答案】432+4【分析】注意发现圆与一次分式函数y=的图象均关于点(-3,2)对称，利用三角形中x+3线的向量表示，将所求转化即可.【解析】由圆方程Y+y2+6x4y=0,可得(+3)2+(y2)2=13,圆心坐标为(-3,2)2x+42(X+3)22y=2,其对称中心为(一3,2).x+3x+3x+3在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如右图所示：数形结合可知，圆和函数都关于点M(-3,2)对称，故可得其交点A和GB和。都关于点M(-3,2)对称.故OA+OC=2(W,OB+OD=2OM所以IoA+O6+OC+4=4(W=4A.10.【答案】A
