专题16 空间向量与立体几何解析.docx

专题16空间向量与立体几何第一部分真题分类1.(2023.全国高考真题)在正三棱柱ABC-A与G中，AB=A41=1,点JP满足jBP=2BC+典，其中20,1,;0,1,贝U()A.当X=I时，AA与P的周长为定值B.当=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值C.当4=(时，有且仅有一个点?，使得尸D.当4=；时，有且仅有一个点?，使得45,平面A57【答案】BD【解析】9IIII>IIJC11易知，点尸在矩形与内部(含边界).对于A,当4=1时，BP=BC+从BBI=BC+juCC,即此时Pe线段CG,4人片尸周长不是定值，故A错误；对于B,当=1时，BP=BC+BB=BB1+AB1C1,故此时P点轨迹为线段与G，而AG5C,Ac1平面A5C,则有。到平面A5C的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.对于C,当4=；时，BP=-BC+BBi,取5C,与CI中点分别为Q,H,则5尸=%+“"，所以尸11点轨迹为线段”，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，a,O,jP(0,0,)，B(Oq,0),则Ap=1-*,0,"-1,BP=A1PBP=(-1)=O,所以=0或=1.故H,0均满足，故C错误；对于D,当时，BP=BC+BB1,取5月，CG中点为MMBP=BM+九MN，所以。点轨迹为线段肱V.设尸。,为,因为AW、(、(QO,所以AP=-,y0,-,A1B=-,-1,所以)I22y11J31117+5%5=0=>%=5，此时尸与N重合，故D正确.故选：BD.2. (2023.天津高考真题)如图，在棱长为2的正方体ABC。-A4C2中，E为棱BC的中点，F为棱8的中点.(I)求证：2/平面45。1；(II)求直线Aq与平面AEG所成角的正弦值.(III)求二面角a-ag-石的正弦值.【答案】证明见解析；(II)且；(III)93【解析】(I)以A为原点，AB,AD,AA分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系，则A(0,0,0),A(0,0,2),W2,0,0),C(220),D(020)<(2,2,2),A(0,2,2),因为E为棱BC的中点，尸为棱CO的中点，所以E(2,1,0),F(1,2,0),所以Qz=(1o2),=(2,2,0)小石=(2,1,2),设平面AHC1的一个法向量为机=(%,%,Zi),fmAC1=2x+2y1=0z、则,令再=2,则机=(2,-2,1),m-AiE-2x1+%2Z1=O因为B尸=22=0,所以Z)Z_1m，因为。Za平面A£G，所以，/平面Asa；(II)由(1)得，AC1=(2,2,2),设直线AG与平面A1EC1所成角为,贝IJSin"cosmAG)I=汴皓=i=V；(III)由正方体的特征可得，平面AAG的一个法向量为05=(2,-2,0),则cos(DB,mDBnI_820DBm3×223所以二面角A-AiCi-E的正弦值为1-cos2=I.3. (2023.全国高考真题)在四棱锥Q-ABS中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA=区QC=3.(1)证明：平面QAD，平面ABcD；(2)求二面角8-A的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)2(1)取AO的中点为。，连接QO,CO.因为QA=QD,OA=OD,则AD=2,A=5,故。O=2.在正方形ABeD中，因为A1>=2,故。=1,CO=5,因为QC=3,QC2=QO2+OC故QOC为直角三角形且QO1OC,因为OCAD=O,故QO,平面ABCD,因为QoU平面Q4。，故平面QAD，平面ABCD.(2)在平面ABCD内，过。作O7CD,交Be于T,则OT1AD,结合(1)中的QO,平面ABcD,故可建如图所示的空间坐标系.则D(0,1,0),。(0,0,2),5(2,-1,0),故BQ=(-2,1,2),BD=(-2,2,0).设平面的法向量n=(x,y,z),则:箓:即昌:二冒故”,I，；而平面QAO的法向量为m=(1,0,0),故COS九”二言二§.22二面角QD-A的平面角为锐角，故其余弦值为T4. (2023.北京高考真题)已知正方体AAG，点片为AA中点，直线用G交平面CDE于点厂.(1)证明：点方为与G的中点；(2)若点M为棱AA上一点，且二面角M-CF-石的余弦值为近，求鲁的值.34玛【答案】(1)证明见解析；(2)黑=；.AIBI2【解析】如图所示，取与G的中点尸，连结DE,EF,FC,由于A与G2为正方体，2尸为中点，故EFCD,从而瓦尸,C,。四点共面，即平面CDE即平面CDE尸，据此可得：直线与G交平面CDE于点/1当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点尸重合，即点尸为与G中点.以点。为坐标原点，ZM,DC,O2方向分别为工轴，y轴，Z轴正方形，建立空间直角坐标系。一炉,不妨设正方体的棱长为2,设禁=X(0X1),则：M(2,2,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(1,0,2),从而：MC=(-2,2-22,-2),CF=(1,0,2),FE=(0,-2,0),设平面才的法向量为：m=(x1,j1,z1),贝I)：fmMC=-2x1+(2-22)y1-2z1=0mCF=x1+2z1=0令ZI=T可得：机二2,511设平面CFE的法向量为：n=(x2,y2,z2),贝I)：n.FE=-2j2=0nCF=4+2z2-09113整理可得：(A-I)27当。=彳时，2/2+4取最小值为二，2-,故丸=<(2=3舍去).6. (2023.全国高考真题(理)已知直三棱柱A5C-A与G中，侧面AAB避为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和CG的中点，。为棱AIB1上的点.BF±A1B1(1)证明：BF±DE;(2)当与。为何值时，面5月GC与面DEE所成的二面角的正弦值最小？【答案】(1)见解析；(2)BiD=【解析】因为三棱柱ABC-A5G是直三棱柱，所以54,底面ABa所以理，AB因为4瓦/钻，BF1A1B1,所以斯_1AB,又BBCBF=B,所以AB1平面BCG片.所以BABc3与两两垂直.以3为坐标原点，分别以5A,5C,B与所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.所以5(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),4(0,0,2),A(2,0,2),C(0,2,2),E(1,1,0),尸(0,2,1).由题设。(。,0,2)(02).(1)因为B/=(O,2,1),D£=(1a,12),fBFDE=0×(1-)+2×1+1×(-2)=0,所以WDE.(2)设平面JDFE的法向量为根=(X,y,z),因为EF=(T11),。E=(Ia,1,2),m.EF-0-x+y+z=0所以ISE=。，即。-办+>-2z=0令z=2-4,则机=(3,1+。,2-因为平面BCG用的法向量为BA=(2,0,0),设平面BCC1BT与平面DEF的二面角的平面角为。，mBA63贝IJICOSM网.网2×22-2+1422-2a+14'36此时cos。取最大值为27-3所以(Sin叽=卜事=*此时B1O=；.7. (2023全国高考真题(理)如图，四棱锥尸-ABCD的底面是矩形，PD，底面ABCD,PD=DC=I,M为BC的中点，且1AM.(1)求BC；(2)求二面角A-尸河-6的正弦值.【答案】(1)2;(2)回14【解析】(1)PD，平面ABCD,四边形ABcD为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA.DC、DP所在直线分别为工、y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。-平，设5C=21,则。(0,0,0)、尸(0,0,1)、B(2a,1,)yM(a,1,)yA(2a,0,0)f则P5=(20,1,-1),AM=AP=(-2,0,1),PB1AM,贝IJPBAM=2/+1=0,解得=三，故BC=Za=四,(2)设平面BIMr的法向量为机=(%,%,zj,贝IjAM=.2r.AAf=x1+y1=0/Ii2171,取X1=/，可得m=(J,1,2),mAP=-y2x1+z1=0设平面PSM的法向量为=(%，%/2)，BM=,0,0,BP=NT,1),7ri'BM=-x?=0a.、2,取%=1，可得"=(0,1,1),3314mnnBP=-y2x2-j2+z2=0cos<m,n>=1-i；r=；=7=m7×2所以，sin<m,n>=1-cos2<m,n>=因此，二面角A府5的正弦值为画.148. (2023.天津高考真题)如图，在三棱柱A5C-A4G中，CC1，平面ABeAC15C,AC=5C=2,Ce=3,点。，片分别在棱AA和棱CG上，且Az)=ICE=2,M为棱ABI的中点.(I)求证：C1M1B1D;(II)求二面角与石-。的正弦值；(III)求直线AB与平面。与石所成角的正弦值.【答案】(I)证明见解析；(II)典；(III)巨63【解析】依题意，以。为原点，分别以C4、CB、Ce的方向为X轴、>轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得C(0,0,0)、A(2,0,0),吊(0,2,0)、G(0,0,3)、A(2,0,3)、4(023)、0(2,0,1)、£(0,0,2)、M(1,1,3).(I)依题意，C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),从而C1"4O=2-2+0=0,所以CIM，旦。；()依题意，C4=(2,0,0)是平面5月石的一个法向量，EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-1).设=(%y,z)为平面。与石的法向量，则，即;_八，nED-02xz=0不妨设=1,可得=(1-U).cos<CA,n>=CAn_26CAh2×66/.sin<CA,n=1-cos2<CA,n>=6所以，二面角3-用石-。的正弦值为叵;6ABF_4_3AB.z-22×63,(III)依题意，AB=(-2,2,0).由()知=(1-U)为平面。与E的一个法向量，于是cos<A5>=所以，直线AB与平面E所成角的正弦值为39. （2023.北京高考真题）如图，在正方体ABC。-AAa，中，E为B片的中点.（I）求证：BC"/平面（II）求直线AA与平面ARE所成角的正弦值.2【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】（I）如下图所示：在正方体ABSA4C2中，人54反且45=4与，4耳G2且AA=G2,.”£2且"=。2,所以，四边形A5CR为平行四边形，贝J5CA2,5G平面A2石，人2匚平面42石，.5。1平面人2石；（II）以点A为坐标原点，AD.AB.AA所在直