专题21 椭圆解析.docx

专题24椭圆第一部分真题分类2221. (2023全国高考真题(理)设3是椭圆C：+与=I(Q>10)的上顶点，若。上的任意一点尸都ab满足I形2"则。的离心率的取值范围是()A.怜1)B.C畤D-°4_【答案】C【分析】设尸(%,%),由6(0)，根据两点间的距离公式表示出|依|,分类讨论求出IP目的最大值，再构建齐次不等式，解出即可.【解析】设尸(%,%),由B(O力)，因为g+W=1,a2=b2c2,所以abPB2=x+(j0-)2=21-券+(%-6)2=-沫%+*+a2+b2,因为->%6,当一4M,即j2c2时，I尸邳2=助2,即I冏=处，符合题意，由从人2可得a22c2,即0<e变；2当上>-b,即/VC?时，俨二2+/+，即?+2+>24)2,化简得，一_附2«0,显然该C211maxC2C2v7不等式不成立.故选：C.【点睛】本题解题关键是如何求出IM1的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.22. (2019全国高考真题(文)已知椭圆C的焦点为£(-1,0)，8(10),过F2的直线与C交于4B两点.若IAK1=2f2b,IabI=Ibf,则C的方程为【答案】B【分析】由已知可设IEM=*贝"M=2%忸周=IABI=3，AF1=2n,在耳5中求得CoSN不铝=g,再在AAK凡中，由余弦定理得=,从而可求解.2【解析】法一:如图，由已知可设IEB1=，贝”M1=2%忸凰=IABI=3，由椭圆的定义有2=忸娟+1叫|=4,.|人用=2|明|=2.在AA45中，由余弦定理推论得cosZF1AB=W+9答案半9【分析I不妨假设。=2,根据图形可知，SinN尸耳&二§,再根据同角三角函数基本关系即可求出92=1.在AAK心中，由余弦定理得4"+4/22"2"!=4,解得=K11 22n3n3322 2/.2=4=25/3,:.a=3,/.b2=OZ-C2=31=2,/.所求椭圆方程为土+匕=1,故选B.32法二：由已知可设同到="，贝"9|=2孙忸娟=IABI=3，由椭圆的定义有2=B+BZ=4n,.A7=2a-AF2=2n,在和班B中，由余弦定理得(=tanP=5;再根据椭圆的定义求出。，即可求得离心率.ti42"2"2'004,又ZAF2月,/B&月互补，.1cos/AE居+cosBEE=0,两式消去n+4-2n2cosZBF2F1=9ncosZAF2F1,cosZBF2F1,得3/+6=R解得n=./.2a=4n=2y/3,:.a-3,.,.b2=a2-c2=31=2,/.所求椭圆方程为土+乙=1,故选B.232【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.2298. (2023浙江高考真题)已知椭圆j+=1(Q>Z7>O),焦点用(-c,0),K(GO)(C>0),若过目的直ab线和圆，g"+y2=/相切，与椭圆在第一象限交于点0,且PB1X轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.如图所示：不妨假设c=2,设切点为3,sinNPF1F2=SinBF1A=隈=：,tanNP耳&=g=|2所以左=甲，由=陶,闺止2c=4,所以|叫=#，MT*'嬴占h=竽，Jrir2Jsnrr1r2J于是2=IwI+俨闾=46，即Q=21所以e=g=3=1.a255故答案为：半；。.99. (2023江苏高考真题)已知椭圆UJ+/=1(。0)的离心率为半.(I)证明：a=y3b;(93(2)若点"而,-髭)在椭圆。的内部，过点"的直线/交椭圆。于P、。两点，M为线段P。的中点,且OP1OQ.求直线/的方程；求椭圆C的标准方程.2【答案】(1)证明见解析；瓜-y-6=0；+y2=.【分析】AI(1)由=川-，可证得结论成立；a(2)设点P()2(,y2),利用点差法可求得直线/的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程;将直线,的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，由OQ可得出OPOQ=O,利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于/的等式，可求出2的值，即可得出椭圆C的方程.【解析】(1)e=-aC27=2r,=T,因此"麻22(2)由()知，椭圆。的方程为抵+%=1,x2+3y2=3b2,在椭圆C的内部时,I+3-rI10、2<32,x1+x2设点P(XI,乂)、2(,y2),贝卜2%十%12由已知可得9°厂，所以,w所以，直线/方程为y-I10J=G,诉|、jX-%_玉+%2_1所以-77：?-×¾-3(%+%)3,即y=3x-6.M+%_3一,X1+x29Y2+3v2=初22q2.，两式作差得(+Aoa马)+3(%+%)(%-%)=。,X2+3%5b所以，直线/的方程为逐一y6=0;联立<x2+3y2=3fe2yY(xT)'消去丁可得IoX218x+93从=0.=182-40(9-32)=1202-36>0,又7OP,OQ,而OP=(M,%),OQ=(X2,%)，2(9-32)-27+156-62C二二0,解得加=1合乎题意，故片=3k=3,因此，椭圆C的方程为。-122100. (2023天津高考真题)已知椭圆7+方=1(4>h>0)的右焦点为尸，上顶点为月，离心率为半，且忸可=占.(1)求椭圆的方程;(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与Bb垂直的直线交X轴于点尸.若MPBF,求直线/的方程.【答案】(1)+y2=1；(2)兄-y+=O.【分析】(1)求出，的值，结合C的值可得出h的值，进而可得出椭圆的方程；(2)设点M(X0,%),分析出直线/的方程为三+为y=,求出点尸的坐标，根据MP所可得出七尸二原一求出4、%的值，即可得出直线/的方程.【解析】(1)易知点HG。)、B(0,),BF=c2+2=5,因为椭圆的离心率为6=£=m5,故c=2,b=ya2-c2=ba5因此，椭圆的方程为:+=1;2(2)设点M(X0,%)为椭圆十+J?=1上一点，先证明直线MN的方程为三+%y=1,+为y=联立2,消去y并整理得好2/x+片=0,A=4x；4%=0,X21Hy-15因此，椭圆反+V=1在点M(X(P%)处的切线方程为g+为y=1.531(1在直线A1N的方程中，令x=0,可得>=一,由题意可知为。，即点N0,%Iyjh1C1直线5方的斜率为左迎=-=-7,所以，直线TW的方程为y=2x+,C2%1(1在直线PN的方程中，令广。，可得,=-丁，即点尸一丁,0,2%I2%J%=2y；_因为MP/,贝MMP=心即Y,工2/为+1-2,整理可得(XO+5%)2=0,XO十C2%所以，x0=-5y0,因为寸+北=6尤=1,%>0,故为=亚，X1巫，566所以，直线/的方程为逅X+如y=1,即Ay+#=O.66【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：(1)设切线方程为y=丘+”与椭圆方程联立，由A=O进行求解；22(2)椭圆+%=1在其上一点(°,%)的切线方程为学+等=1,再应用此方程时，首先应证明直线理+誓=1与椭圆£相切.abab2265. (2023全国高考真题)已知椭圆融勺方程为1+2=1(>万>0),右焦点为尸(,0),且离心率为ab63(1)求椭圆C的方程；(2)设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线/+y2=z72(>0)相切.证明：M,/,F三点共线的充要条件是IMN1=1【答案】(1)二+必=1；(2)证明见解析.3【分析】(1)由离心率公式可得"=G,进而可得。2,即可得解；(2)必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证WW1二百；充分性：设直线MNf=丘+"(的0),由直线与圆相切得2=左2+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得TF叵£=百，进而可得左=±1,即可得解.1 +3k2【解析】(1)由题意，椭圆半焦距c=且e=£=逅，所以=1a3Xb2=a2-c2=1,所以椭圆方程为土+/=1；3(2)由(1)得，曲线为V+y2=i(>0),当直线MN的斜率不存在时，直线MN:X=1,不合题意；当直线MV的斜率存在时，设M(X,),N(x2,%),必要性：若M,/,F三点共线，可设直线肱V：y=M1即近y回=0,由直线MN与曲线V+y2=1(>0)相切可得|同|=,解得左=±1,vTT联立_34产±卜-®3r,/可得4%2_60%+3=0，所以X1+=,x1x2一+y2=1213,所以I肱V1=+T（x1+x2）2-4x1x2=6所以必要性成立;充分性：设直线2W:=履+,(幼v)即履y+=。，由直线肱V与曲线/+"(，。)相切可得=1,所以/=/+1,Jt2+1y=kx+b联立1%22可得（1+3左2）%2+6如+32-3=0,?+'=所以Iwr1=J1+42.J（X+）24%2=3+左-4,1+3F化简得3(左21)2=0,所以左=±1,左=1k=-1所以-或A-'所以直线MN:y=x-或y=+'所以直线MN过点尸(,0),M,/,F三点共线，充分性成立；所以M,/,F三点共线的充要条件是IMN1二代.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.2266. (2023北京高考真题)已知椭圆Q5+3=1(>10)过点AQ-2),以四个顶点围成的四边形面ab积为41(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点尸(0,-3)的直线/斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线4B,AC交片-3于点M、/,直线4C交片-3于点/,若IPM1+P15,求k的取值范围.【答案】(1)+2=1;(2)-3-1)0(1,3.54【分析】(1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求从而可求椭圆的标准方程.(2)设川西,x),C(2,%),求出直线至，A。的方程后可得MN的横坐标，从而可得IFMI+PN,联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简IPMI+PN,从而可求人的范围，注意判别式的要求.【解析】因为椭圆过4(0,-2),故8=2,因为四个顶点围成的四边形的面