【小升初专项训练】18 不定方程的分析求解.docx

第18讲不定方程的分析求解第一关【知识点】1 .不定方程的定义：不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组.2 .一般是求解一次不定方程：关于ax+by=c的不定方程，(a,b)为a,b的最大公约数，如果有整数特解(x,y),则该方程所有整数解为：x=x-kb÷(a,b),y=y+ka÷(a,b),k为整数.例如：37x+107y=25的一组整数特解为(-8,3),(37,107)=1则其所有整数解：x=-8-107ky=3+37k【例1】求2x+3y=7的自然数解。【答案】x=2,y=1【例2】求1+(=的自然数解。【答案】x=2,y=3【例3】计算不定方程3a+4b=60的所有自然数解，你有什么发现？【答案】发现b能被3整除，a能被4整除【例4】求不定方程12x+21y=17的整数解.【答案】没有整数解【例5】求不定方程14m-21n=48的整数解。【答案】没有整数解【例6】一个两位数，各数位上的数字之和的5倍比原数大8,这个两位数是多少？【答案】47【例7】儿童节时，某游乐场门票价格如下：儿童票每人6元，成人票每人11元，开门后过了一段时间，游乐场靠门票收入了97元，那么此时共卖出了多少张门票？【答案】12【例8】五一放假，彬彬一家5人去旅游科技馆，买门票共用去了64元(儿童票半价)，儿童有几人？【例9】某旅游团到香山公园游玩，共购买了80元门票，其中每张成人票是5元，每张儿童票是3元，这个旅游团可能有几个大人？几个儿童？【答案】这些人中可能有1个大人和25个儿童，或者4个大人和20个儿童，或者7个大人和15个儿童，或者10个大人和10个儿童，或者13个大.人和5个儿童，或者16个大人，没有儿童，有6种情况【例10】过冬了，小白兔只储存了180只胡萝卜，小灰兔只储存了120棵大白菜.为了冬天里有萝卜吃，小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔一些胡萝卜，这时.他们储存的食物数量相等.则一棵大白菜可以换多少只胡萝卜？【答案】3【例11】9个鸡蛋的价格为11元a分，13个鸡蛋的价格为15元b分，其中OVaV1oo且OVbV1o0,那么一个鸡蛋的价格为一元一分（注本题不考虑“角”这个货币单位，1元=IOo分）.【答案】1;23【例12】为了搬书方便，学生想用大、小两种纸箱搬运，大的每箱能装11套书，小的每箱能装6套书，要把97套书装入纸箱内，应需要大纸箱多少个？小纸箱多少个？【答案】大纸箱5个，小纸箱7个【例13】用载重7吨和4吨的大、小卡车运50吨煤，正好一次运完，大卡车和小卡车各用几辆？【答案】大卡车用6辆，小卡车用2辆，或大卡车用2辆，小卡车用9辆【例14】两种饮水器若干个，一种容量12升水，另一种容量15升水.153升水恰好装潢这些饮水器，其中15升容量的饮水器有多少个？【答案】3或7个【例15】五年级同学玩投球游戏，把红、黄两种颜色的球.投到5米外的小铁框中，投进一个红球得7分，投进一个黄球得5分，若小芳共得了58分，则他分别投进了多少个红球和黄球？，【答案】他投进了4个红球，6个黄球【例16】有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个，问需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？【答案】大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个才能恰好把这些球装完【例17】个工人将零件装进两种盒子中，每只大盒子装12个零件，每只小盒子装5个零件，恰好装完.如果零件一共是99个，盒子只数大于10,那么大盒子有多少只？小盒子有多少只？【答案】大盒子有2只，小盒子有15只【例18在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人.在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有27.1万人.如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？【答案】苏军参与战斗的有23个步兵师，9个航空兵师【例19】n名棋手进行单循环比赛，即任两名棋手间都比赛一场.胜者得两分，平局各得一分，负者没分.比赛.完毕后，前四名各得8、7、5、4分，求n。【答案】6【例20】某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和，那么，他的出生年份是多少？【答案】1975【例21】某人在1988年的年龄等于他出生年份的各位数字之和，问：此人2012年时年龄为多少岁？【答案】46【例22现有红、白两种颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多，若把每一个白球都记作数2,每个红球都记作数3,则总数为60,求白球和红球的数量。【答案】白球有9个，红球有14个【例23】学校买了一批蓝球和足球，共需支付1506元，如果少买几个篮球，购买的足球只数不变，就只需支付1061元，每个篮球售价是多少元？（每个篮球和足球的售价都是整元数，且都大于10）【答案】89【例24】有一批花盆，若每隔一米放置在长方形广场的四周（广场的四个角都恰好放了花盆），则花盆多25个；若放在广场地面的每块瓷豉（一平方米的正方形）的中央，则花盆少12个.问：有多少花盆？【答案】117【例25我们家利用“五一”小长假乘车到外地旅游，途中有一段路要求限速.汽车在公路上匀速行驶.我看见有块路牌上的数是个两位数，就下意识地看了下.表.一个小时后，又看见一块路牌，上面还是两位数，不过两个数字与前一块路牌上两位数的两个数字恰好颠倒了顺序.再过了一小时，见到的路牌上面是个三位数，它恰好是在第一次看到的那个两位数的两个数字中间加了个零.这段路上汽车的车速是多少？【答案】45千米/小时【例26有若干张面值分别为0.5元、0.8元和1.2元的邮票，面值共60元，其中面值为0.8元的邮票张数是面值为0.5元邮票张数的4倍，那么，面值为1.2元的邮票有多少张？【答案】13【例27】盒中有红、白两种颜色的小球共50个，现从中取出若干个球.在取出的球中白球个数是红球个数的6倍，在盒中剩下的球中，红球个数是白球个数的4倍.问：最初盒中有红球、白球各多少个？【答案】最初盒中有红球17个，白球33个【例28】A君与B君分别买了苹果及橘子，A君买的苹果是50元一个，橘子是15元一个，他总共花了1395元.B君买的苹果是45元一个，橘子则是20元一个，总共花了1670元，但他们所买的苹果及橘子的合计个数，A君与B君是一样的，问：A君买了多少个苹果？【答案】18第二关【例29】关于X的方程ax+7=4x5的解是正数，求a的取值范围.【答案】a<4OtCI【例30已知关于X的方程竺工二1-一-,当a,b为何值时:32（1）方程有唯一的解？（2）方程无解？225【答案】（1）a；（2）a=,b333第三关【例31】20名少先队员乘小船游城西公园，大船限乘3人，小船限乘2人（每只船上都没有空座位）.一共有多少种不同的租船方案？（提示：可以从只租1只大船想起）【答案】3【例32】有19人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排？【答案】3【例33】旅游团23人到宾馆住宿，分别住3人间或2人间.若每个房间不能有空床，有多少种不同的安排？【答案】4【例34】星期六三（1）班34名同学到公园划船，有6人大船和4人小船，如果每条船都坐满，一共有多少种租船方案？【答案】3【例35】面包店烘烤了36个面包，有两种包装袋可用来包装，一种每袋可装4个面包，另一种每袋可装6个面包，要把这些面包正好装完.有几种包装方案？【答案】4【例36】将一段47厘米的铁丝分别截成长3厘米和4厘米两种规格的铁丝，要使原料不浪费，有几种不同截法？【答案】4【例37】有76位客人用餐，（圆桌10人一张，方桌8人一张）.要使安排最合理（没有空位），有多少种方法？【答案】2【例38】学校组织482人去郊游,租用42座大巴和20座中巴两种汽车，如果要求每人一座且每座一人，租用的车辆不留空座，则有多少种租车方案？【答案】2【例39】用一元买回15张邮票，其中既有4分的也有8分的还有1角的，求有多少种不同的买法？【答案】3【例40】一只书包的售价是33元，小刚的爸爸带有2元、5元、和10元纸币各若干张，要买这只书包，共有多少种不同的付款方式？【答案】6【例41妈妈买了一些枕头和毛巾.共花了144元，有多少种买法？c>口4元1/6元A【例42】学校添购课外活动用具，象棋每盒12元，围棋每盒16元，正好共花260元，问：共有几种买法？【答案】4【例43】钢笔每支5元,圆珠笔每支3元，铅笔1元3支.用100元买100支笔（每种笔都要有），有哪儿种方法？【答案】可以买12支钢笔，4支圆珠笔，18支铅笔或买8支钢笔，11支圆珠笔，81支铅笔或买4支钢笔，18支圆珠笔，78支铅笔共有3种方法第四关【例44若自然.数M、N的和是2011,且M是11的倍数，N是7的倍数，那么N的最小值是多少？【答案】42【例45】某专卖店进了男式牛仔裤25条，女士牛仔裤26条，这两款牛仔裤今天一共卖了3000元.这两款裤子最少卖了多少条？（男式80元/条，女式100元/条）【答案】31【例46】小纪念册每本5元，大纪念册每,本7元，张军买了这两种纪念册共花142元，求两种纪念册最少买了几本？【答案】22【例47】将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种形状的短管（加工损耗忽略不计）问：剩余部分的管子最少是多少厘米？【答案】2【例48】一场音乐会的票价,有20元、30元两种，30元的有100个座位，20元的有250个座位，票房收入是7500元，观众最多有多少人？【答案】333【例49】某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划播长度为15秒和30秒的两.种广告.15秒的广告每播次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元.若要求每种广告播放不少于两次，求电视台在播放时收益最大的播放方式。【答案】15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次【例50】正整数x,y满足6x+7y=2012.设x+y的最小值为p,最大值为q,求p+q(>【答案】623