[寒假]圆锥曲线的焦点弦长新解.docx

圆锥曲线的焦点弦长新解张鹏举关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=H+占代入曲线方程，化为关于X的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式J（1+百）（+叼），_4勺叼求出弦长,这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。一.椭圆的焦点弦长/V2-5"5"=1（。>B>O）z/c若椭圆方程为M/,半焦距为c>0,焦点片（一G°）、Fg°）,设过及的直线？的倾斜角为幺/交椭圆于A、B两点，求弦长慎身。图1解：连结用A&B,设I-H=MF1B=yf由椭圆定义得¾½=2-x,F2B2a-yt由余弦定理得b2X2+(2c)2-2x2ccosa=(2a-x)2f整理可得一以-CCOSa,同理可求得b2y=a+ccosa,贝IJ弦长b2b22ab2+=a-ccosaa+ccosca2-c2cos2aoI典=2；）同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为a2sin2a（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式:AB=<22?(焦点右轴上)a-ccosa2(焦点在鼎上)a-csina双曲线的焦点弦长y-y=1（。>0,b>0）,AX?/设双曲线/",其中两焦点坐标为玛（一6°），MC，°）,过耳的直线？的倾斜角为a,交双曲线于a、B两点，求弦长IabI。解：（1）当arctan<a<-arctana时，（如图2）直线1与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连尸F隹,设图H=了，IF向二乙由双曲线定义可得眄川=2+x,F2B=2a+yt由余弦定理可得b2x2+(2c)2-2x2ccos=(2+x)2整理可得X-a+ccosa,同理b2y=以一CCOSa,则可求得弦长2ab2+=a+ccosa-c-cosaa2-c2cos2a0Oc<arctan-arctan<a<(2)当。或a时，如图3,直线/与双曲线交点A、B在两支上,连>4%B,设IFM=JGI尸IB1=Iy,则因牛2+x,F2S=y-2at由余弦定理可得,+(2c)2-2x2ccos=(2+x)2,y2+Re)?-2y2cCOS(n-a)=(y-2d)2b2b2X=9y=整理可得+ccosaccosa一则/2ab2I网=S=T因此焦点在X轴的焦点弦长为2ab2zbb、(arctan<a<-arctan)a-cicosjaaa2abi-55ICcosa-abb(O<a<arctan一或乃一arctan<a<)同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式2aba-csinafIabICsina-ay(arctanW<a<-arctany)(O<a<arctan-arctan<a<)bb其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，。为AB的倾斜角。三.抛物线的焦点弦长若抛物线丁=2/3>0）与过焦点以万'°）的直线？相交于A、B两点，若/的倾斜角为c，求弦长AB?（图4）解:过A、B两点分别向X轴作垂线4VBBi,4、均为垂足,设I刚=xFE1=Iy,ppFxcosa-ycosc则点A的横坐标为2,点B横坐标为2,由抛物线定义可得pPPP+xcosc+-=x；-ycosa+-=y222z2PPX-9y-即1-COSCK1+COSCK贝IJI-COSa1+cosc1-cosasina45=2切X=2方的焦点弦长为I1COS2a,所以抛物线的焦点弦长为AB=<芈（焦点在#由上）sina芈（焦点上）.cosa由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。