[寒假]圆锥曲线对称问题.docx

9»2V+1=0I解:J得交点(0,-),设/,的斜率为k,由两直线的夹角公式得:3x-2y+1=02由点斜式，入的方程为4x-6y+3=0.另解：在直线4上任取一点，求出这点关于2-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出&的直线方程。解由方程组：J2A_H=°得交点(°,_),在直线/上任取一点P(1,2),找P关于3-2y+1=022-2y+1=0的对称点P'(x>,y'),如图。2.-2.-+1=0,3X=CC从，2得2PJ3V-2.,322"=-1y=-Ix1-II2由直线2-2y+1=0与4的交点(0,1)得直线的方程：4-6j÷3=0另解：在上任取一点P(x,y),则P点关于2-2y+1=0对称的点P'(x',y')在上,列出P,P'的方程组，解出x',y',代入4问题就解决了.y,-x+6y-35,4x+y+2解设P(x,y)为4上的任意一点，则P点关于直线2-2y+1=0对称，点P'(x',y')在4上(如图2-75),2Z×2=-1xx2得:2金一2.0+1=0又因为P'(x',y')在直线小3-2y+1=0±,所以3x'-2y'+1=0.,.3+6k3_2，+”2+1=04的方程为：4-6y+3=0.问题9：如果把4改为曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方理呢？丽丁!已知曲线y=x求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程.可先在y=/上任取一点P。(。,y。)，它关于直线的对称点P'(xy),可得它们的交点，从中解出XgyrI代入曲线y=x询可(如图2-76).圆锥曲线的对称问题问题1：点P(,y)、P'(x'H)关于点Q(Xyo)对称,那么它们的坐标应满足什么条件？Q点是P与P'的中点，即满足M=*%=、了问题2：P(x,y),P'(x',y')关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？P和P'的中点是原点.即=-'且y=-y'.问题3：若P和P'关于X轴对称，它们的坐标又怎样呢？x=x，且y=-y,.问题4：若P和T关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？y=y,且x=r'.问：若P和P'关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？y=x'且x=y'.问题5：双曲线W-V2X2=1与*的位置如何？它们关于直线y=对称.问题6：若P与P'关于直线Ax+By+C=O对称，它们在位置上有什么特征？P和P'必须在直线Ax+By+C=O的两侧且与直线垂直就能对称,及P和P'到直线Ax+By+C=O的距离相等问题7：P与P'到宜线Ax+By+C=O的距离相等的含义是什么？就是P与P'的中点落在直线Ax+By+C=O上，换句话说P与P'的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=O.问题8：两点P(x,y)、P'(x',y,)关于直线Ax+By+C=O对称应满足的条件？应满足两个条件.笫一个条件是PP'的连线垂直于直线Ax+By+C=O,第二个条件是P,P'的中点应落在直线Ax+By+C=O上.方程组:Ax+By+C=O图2-72这两个条件能否用方程表示：.x+x'Cy+y'_A+B-+C=O方程组中含有x',y',也可认为这是一个含x',y'的二元一次方程组.换句话说，给定一个点P(x,y)和条定直线Ax+By+C=O,可以求出P点关于直线Ax+By+C=O的对称点P'(x',y')的坐标.今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性.但也还有其他方法，大家一起看下面的例题.gj已知直线I1和关于直线2-2y+1=0对称(如图2-73),若I1的方程是3-2y+1=O,求/、的方程.(选题目的：熟悉对称直线方程)先求出已知两直线的交点，设&的斜率为由两条直线的夹角公式可求出2,再用点斜式求得4的方程.由前题的结论可知，把AM线段搬到X轴下方，尽可能使它们成为直线，这样A'M+MP最小.解：A点关于X轴的对称点为A，(0,-2),连VC交X轴于M,交圆C于P点，因为A'(0,-2),C(6,4),所以A'C=7(6-0)2+(4+2)2=62.A'P=A,C-R=625=(52->).(R为圆半径).,.AM+MP的最小值为4(5-6)函若抛物线y="-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围.如图2-80,设A(x,y),B(X2,m)是抛物线上关于直线x=-y对称的两点，则AB的方程可设为y=+b°解方程组：I'='*”得AB中点C的坐标(-2,2)。y=-x22联立P'=""消去y得。工2_厂(八1)=0。(*)y=x+h依题意(*)式4=1+4(%+D>0,且土土上=-=一222a2.,.aZ?=-1,再由()得4解法二：曲线y=02-1关于直线x+y=O对称曲线方程为：-x=ay1,y=/7Y*_1解方程组：,=>y+=(2-y2)-X=ay2-1.X+y0.*.y=-,代入y=.一】得关于X的二次方程：aa2x2-av+(1-cr)=0,由>()得>工。4练习：1 .一个以原点为圆心的圆与圆：x>y2+8-4y=0关于直线/对称，求直线/的方程.(2-y+5=0)2 .ABCD是平行四边形，己知点A(T,3)和C(-3,2),点D在直线-3yT=0上移动，则点B的轨迹方程是。(-3y+20=0)3 .若光线从点A(-3,5)射到直线3-4y+4=0之后，反射到点B(3,9),则此光线所经过的路程长是»(12)4 .已知曲线C：y=7%.2关于点(°,2)对称的曲线是C',若C与C'有两个不同的公共点，求。的取值范围.(-2VaV1=5 .设6、鸟是椭圆史券+02厂=1的两焦点,P是直线-y=上的点，求IPK+|尸鸟I的最小值及相应的点P的坐标。(45,P(-,-)*33解设PQ(Xo,yo)是曲线C：y=2上任意一点，它关于直线-y-2=0对称的点为P'(x,yj,因此，连结PU(XU,yj和P'(x,yj两点的直线方程为y-y0=-(X-XJ.丁-%=-(-x0)得交点(>+%+2,%+%一2x-y=22,2J由中点坐标得：y0=xi-2,x0=y1+2,代入曲线C得：为一2=(弘+2)2,于是可知所求的对称曲线方程是：xy2+4y+6解法二：设M(x,y)为所求的曲线上任一点，MO(Xo,y。)是M关于直线-y-2=0对称的点，所以Mi)定在曲线C：y=x2±.1=-1工一与得.Z1,2=0代入C的方程可得x=y2+4y+6瓯已知点A(0,2)和圆G(-6)2+(y-4)2=y,一条光线从A点出发射到.轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程.(如图2-77)解已知点A关于X轴的对称点为A'(0,-2),所求的路程即为A'Do在R1ZXA'CD中，A'D2=A'C2-CD21.A'D='C2-CD2=光线从A点到切点所经过的路：IAMI+1MDI=史书。|：若已知A(0,2),D(4,1)两定点，在X轴上求一点P,使得I何+PD为最短.先过A(0,2)关于X轴的对称点(0,-2),连结A'D与X轴相交于点P,P为所求(如图2-78).因为A,A'关于X轴对称，所以IAPI=A'P,这时AP+PD=A'D1为线段，当P点在X轴其他位置上时，如在P'处，那么，连结AT、"Pz和P'D.这时AP'+PD=A,P+P,D>AzD.理由(三角形两边之和大于第三边).所以A'D1为最短.即P为所求._QA¾已知点A(0,2)和圆C：(A-6)2+(y-4)2=q,M和P分别为X轴和圆C上的动点,求Iam+ImpI的最小值。先作A点关于X轴的对称点(0,-2),连结A，和圆心C,A，C交X轴于M点，交圆于P点，这时IAMI+1MP1最小(如图2-79).4题.解设P(x,y)是曲线y=-1x+2上任点，它关于点(a,2a)的对称点是P'(x°,y。，则x=2a-°,y=4a-y0,代入抛物线C的方程便得到了C'的方程：丫=/+(1一拒卜+(41+2»-2).联立曲线C与C'的方程并消去y得：-2ax+2a1+a-2=O,由A>0得-2VaV1.5题略解：如图284,F,(-5,2),F-1,2),已关于直线-y=1的对称点为件(3,-6),直17线FR的方程为2x+y=0,代入-y=1解得：P(-,-一)33此时IPF1+PF,=45题目Iiii圆0x'+y'=4与y轴正半轴的交点A作这圆的切线1,M为7上任一点，过M作圆。的另一条切线，切点为Q,求点M在直线i上移动时，MAQ垂心的轨迹方程.解如图2-81所示.P为AAMQ的垂心，连0Q,则四边形AOQP为菱形，所以IPQ1=IoA-2,设P(x,y.Q(Xgyo).于是有XU=XI且一为=2,因为(A0,y1,)为已知圆上的点，可得：x2+<>'-2)2=4.重心P的轨迹方程是：工2+()，2)2=4，除去(0,0)：(0.4)两点。国叵0若抛物线y='上存在关于直线y=n(-3)对称的两点，求实数S的取值范围.解(如图2-82)设抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y?)关于直线y=m(X3)对称，AB中点为M(0,y0),显然m0,则kAB=/F则丑1-=jv1+2=-X,-X1-mX+M1乂+必一(%+X，)2-2xm"茄"=k"M将(.v0,y0)代入直线方程得：3Xy=+3/2/2由®知，K、X,是方程广+/+(73)=0的根Om2n2由>()得(2m+1)(67W2-2m+1)<0.*.m<o2i11求证：抛物线丫=；X2_1上不存在关于直线=X对称的两点.证明如图2-83,若P、Q两点关于y=x对称，可设P(、b)、b=-a-17Q(Z)»。)且=b,a、bR.则：；a=-b2-2两式相减得：a+b=-2,b=-2-a,再代入前一式得a2+2+2=0其判别式=4一8<0。所以。R这与题设矛盾。PQ两点不存在。5.练习4,5题的参考解答：