[寒假]圆锥曲线与向量综合题.docx

圆锥曲线与平面向量考纲透析考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.圆锥曲线与平面向量的综合.新题型分类例析1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为i,O)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线/:y=kx+y2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且丽为2(其中O为原点).求k的取值范围.X2y2解：(I)设双曲线方程为=-9=1(aX1bX).ab由已知得。=6,C=2,再由标+从=2、得力2=1.故双曲线C的方程为§一/=.(I1)将y=Ax+代入片_y2=得(1-32)x2-62-9=0.1-3A:20,由直线/与双曲线交于不同的两点得广，=(62)2+36(1-32)=36(1-A:2)>0.即22g且欠2V1设A(XA),8(4,%),则6叵k-9XA+XB=7o,T-rA=1o.2q40B>2得XAX8+力坊>2,1Sy115K而XAXS+yAy=xAxB÷(+V2)(+41)=(k2+1)x4x+后Z(XA+xb)+21tb27一“2,Q于是三上2,即+,>0,解此不等式得3k2-13k2-<k2<3.由、:得-<k2<.3故左的取值范围为(-1,-3.设x,yR,八，为直角坐标平面内X轴、y轴正方向上的单位向量，若a=xi+(y+3)J,b=xi+(y-V3)J,且同+1闻=4.(I)求点P(X,y)的轨迹C的方程；(I1)若A、B为轨迹C上一的两点，满足而=赢，其中M(O,3),求线段AB的长.启思4已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在X轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，凉+而与1=(3,-1)共线.(I)求楠.圆的离心率；设QM=(x,y).由已知得*,丁)二斗，%)+4(，丁2)，X=r.+x.,°,o.,.M(x,y)在椭圆上，.(+")+3(肛+My,)?=3Zr.y=肛+x2.即力(芭2+3yj)+42*;+3w)+29*尤2+3My2)=3从.由(1)知X+占=主=3/，=!2.222变式新题型3抛物线的顶点在原点，焦点在X轴上，准线/与X轴相交于点A(-1,0),过点A的直线与抛物线相交于p、Q两点.(1)求抛物线的方程；(2)若丽而=0,求直线PQ的方程；(3)设Q=入而(入>1),点P关于X轴的对称点为M,证明：FM=-XFQ.6 .已知在平面直角坐标系My中，向量=(0J),AOE用勺面积为2百，且OFFP=t,OM=OP+j.(I)设4<1<4y反求向量。户与FP的夹角e的取值范围；(II)设以原点0为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M1且IOFI=c,r=(3-1)c2,而I取最小值时，求椭圆的方程.7 .已知M(O,-2),点A在X轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线A8上，且满足，AP=-PB,MAAP=O.(I)当点A在X轴上移动时，求动点尸的轨迹C方程；(II)过(一2,0)的直线/与轨迹C交于E、F两点，又过E、尸作轨迹C的切线4、I2,当4上4,求直线/的方程.8 .已知点。为圆Cr+1)?+/=8的圆心，点A(1.O),P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且而0Q=O,而=2万以(I)当点P在圆上运动时，求点。的轨迹方程；(I1)若直线y=H+J+1与(I)中所求点Q的轨迹交于不同两点F,H,。是坐标原点，2 3且一O尸O"-,求AFO”的面积3 4(3、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过4(2,0)、3(2,0)、C1,-三2)点.(I)求椭圆E的方程；(II)若直线/：y=Ar(x-1)(0)与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线4=4上.10.如图,过抛物线2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。(I)设点P分有向线段“所成的比为入，证明而j_(至-QB);(II)设直线AB的方程是x2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程C10.已知平面上一定点C(-1,0)和一定直线/:X=T.P为该平面上一动点，作PQJJ,垂足为-。，(尸Q+2PC)(PQ-2PCr)=0.(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2)点0是坐标原点，4、8两点在点P的轨迹上，若O4+408=(1+/DOG求4的取值范围.11 .如图，已知E、F为平面上的两个定点IEFI=6,|尸GI=Io,且2E"=EG,HPGE=0,(G为动点、,P是HP和GF的交点)12 (1)建立适当的平面直角坐标系求出点尸的轨迹方程；13 .已知动圆过定点(1,0),且与直线=-1相切.(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线/,使/过点(0,1),并与轨迹C交于P,Q两点，且满足OPO0=O?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.13.已知M(4,0),N(1,O)若动点P满足MNMP=6N尸I(1)求动点P的轨迹方C的方程；(2)设。是曲线C上任意一点，求。到直线/：x+2y-12=0的距离的最小值.19.如图，直角梯形ABCD中，DAB=90o,ADBC,椭圆F以A、B为焦点且过点D,(I)建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；1.(II)若点E满足EC=5A8,是否存在斜率kO<J直线/与椭圆产交于W,N两点，且IMEI=INE若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。解(1)已知双曲线实半轴m=4,虚半轴6二20，半焦距S=J16+2()=6,椭圆的长半轴。2=。=6,椭圆的半焦距C2=。尸4,椭圆的短半轴3=J62-4'=而,X2y2所求的椭圆方程为+石=1(2)由已知4-6,0),尸(4,0),设点P的坐标为(x,y),则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y),由已知得(x+6)(x-4)+=0则22+9x-18=0,解之得=3或X=-6,2由于y>0,所以只能取工=日，于是)，=:百，所以点P的坐标为】百分(3)直线AP:/-6y+6=0,设点M是(加,0),则点M到直线AP的距离是加普,于是垮=帆-6|.又点M在椭圆的长轴上，即一6m6.机=2.当相=2时，椭圆上的点到M(2,0)的距离d1=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-=(x-)2+15又-6x6.当=2时，d取最小值后22解：由2右|而"sine,得I而卜I而I=迪,由COSe=至七=弊2SineOFFP43得tan。=迪.3分t冗J1.4<r<4>/5.1<tan<VJ.0eO,夹角夕的取值范围是(一,一)436分(2)设P(XO,%),则Q(Xo-GX),OZ7=(c,0).OFFP=(AO-c,yfi)(c,O)=(XOC)C=Z=(>3-1)c2x0=GC=yo=23.yo=±2c8分.JOPI=&+),：=(3c)2+()卜布CW=2610分当且仅当3c=*,即C=2时JOP|取最小值2石,此时,丽=(23,±23)G7=2-(23,23)+(0,1)=(2,3)或而=22.(23-23)+(0,1)=(2,-1)12分3椭圆长轴2a=(2-2)2÷(3-0)2+(2+2)2+(3-0)2=8/.a=4方=12C2«=(2-2)2+(-1-0)2+(2+2)2+(-1-0)2=I+7.。2="兴22故所求椭圆方程为二十工=1或3,犷.14分1612点+正S解：(I)J>g=O,贝IJXIX2+ya=0,1分又P、Q在抛物线上，y2=2px,y22=2px2,正迂,八422p-2p+yy2=°,Wy2=-4P.*Iyy2=4p213分又伙yz1=4,.4p2=4,p=1.4分(H)设E(a,O),直线PQ方程为X=my+a,fx=my+a联立方程组根UX，5分消去X得y2-2Pmy_2Pa=O,6分*ya=-2pa,7分设F(b,O),R(x3,y3),同理可知：yy3=-2pb,8分由、可得葭4,9分若1¾=3尬,设T(C,0),则有(X3-c,y3-0)=3(X2-c,y2-0),：,y3=3y2即募=3,10分将代入，得b=3a.11分又由(I)知，0>0=0,'yy2=-4p2,代入，得-2pa=-4p2.*.a=2p,3分.*.b=6p,故，在X轴上，存在异于E的一点F(6p,0),使得保=3里.14分注：若设直线PQ的方程为y=kx+b,不影响解答结果.(I)解：设P(X,y)则AP=(x-xA,y)PB=(-x,yB-y)2分由AP=-PB得xa=2x,y1i=2y4分又MA=(X“2)AP=(x-xa,y)即MA=(2x,2),AP=(-x,y)6分由MAAP=O得x2=y(y0)8分(II)设E(p%),F(x2,y2)因为y'=,故两切线的斜率分别为士、2io分X2=2y0由方程组V得x2-2Ax-4k=0xx+X7=2kx,x7=-4k12y=k(x+2)当/1_1/2时，X%2=T,所以k二gO所以，直线/的方程是y=-（x+2）O解Y).MF,1轴，M居I=1,由椭圆的定义得：M"+!=2,2分22MF2=(2c)2+-f(2«-)2=4c2+-,4分424又e=走得C?='/4a2-2a=3a2,a>0:.a=224.,.b2=a2-c2=-a2=1,6分42所求椭圆C的方程为】+y=.7分4(II)由(I)知点A(-2,0),点B为(0,-1),设点P的坐标为(X,y)则PA=(-2-乂一)，)，AB=(2,-1),由PA-AB=m-4得一4-2x+y=相-4,点P的轨迹方程为y=2x+机9分设点B关于P的轨迹的对称点为B,(x0,j0),则由轴对称的性质可得：%+1_1,=,=Zrn1X0222-4-4m2m-311八解传:%=,%=，11分.点在椭圆上，.（於网）2+4（空3）2=4,整理得2济一73=0解得-3机=-1或m=-2点P的轨迹方程为y=2x-1或y=2x+,13分经检验y=2x-1和y=2x+都符合题设，满足条件的点P的轨迹方程为y=2x1或y=2x+一解（I）依题意,可设直线AB的方程为y=%x+m,代入抛物线方程/=4），得X2-4