[寒假]圆锥曲线中的一些重要结论.docx

圆锥曲线中的一些重要结论1、如图，K是椭圆(双曲线、抛物线同样具有此性质)方=1(>b>O)的左焦点，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点，分别过A、B做左准线(与X轴的交点为G)的垂线，垂足为D、C,连接C,AG,BGo则有(1)E平分准焦距G6;(2)若连结BD,则BD与AC交于同一个点E；(3)GK是AG5的角平分线(可根据三角形相似证明，证明A0G与BCG相似)2、如图，直线AB交双曲线W一与=151>0)于A、B两点，6是ab右交点，AB交右准线于C。则有ZC是的角平分线。(提示：可分别过A、B做右准线的垂线，垂足分别为G、E,再根据第二定义证明。右顶点与D点的距离最近0y=-0.5p实，设Q点是P4的中点，则也转化为中点弦问题，Q为定点，过Q的直线，被椭圆截的的弦PA2被Q点平分，注意OQ与PA平行。(3)、图中的阴影部分是当定点在此范围时，不存在中点弦。所以，在处理中点弦问题时，注意对判别式的判断，特别是双曲线。4、如图，1是椭圆+=1(。>b>0)的右焦点，4、A)是左右顶ab点，P点是1上除去X轴上的一动点，AP与A?P分别交椭圆与M、N两点，则恒有MN过右焦点。注意：仿照这个结论，对应双曲线，则应有相应的结论。XV5、MN是椭圆r+3=1(>b>0)的焦点弦，则以MN为直径的圆与对应a2b2准线相离。注意：仿照这个结论，对应双曲线是相交，抛物线是相切。6、对于抛物线y2=2px(p>0)(1)点A(m,0)在X轴上，当机p时，恒有顶点O是抛物线上与A点距离最小的点；(2)过(2p,0)的直线与抛物线交于B、C两点，则恒有N8OC=90°,反之，过坐标原点。做互相垂直的两直线与抛物线交于两点B、C,则直线BC恒过定点(2pt0)。7、点D(mt0)是X轴上一动点，A2是椭圆=1(>b>O)的右顶点，则当m幺时，恒有c8、如图，y=-gp是抛物线V2=2px(p>0)的准线，P点是准线上任意一点，PA,PB切抛物线于A,B两点，则有：(1)ZAPB=90°；(2)AB过焦点。反之，过焦点弦的两个端点做抛物线的切线，则两条切线的交点一定在准线上。思考：椭圆、双曲线是否有类似的结果9、(1)若4(%,%)在椭圆+gr=1上，则过综的椭圆的切线方程是警+*=1(隐函数求导，aba"b可以证明，另外，对比中点弦问题，极限思维)22(2)若(%,先)在双曲线今一与=1(a>O,b>O)上，则过外的双曲线的切线方程是誓一誓=1abab"x2y210.(1)若4(%,%)在椭圆一7+=1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2ab的直线方程是誓+岑=1abx2v2(2)若4(%,%)在双曲线一7一七二1(a>O,b>O)外，则过P。作双曲线的两条切线切点为Pi、P2,ab则切点弦PiP2的直线方程是-=1.ab2211、(1)椭圆，+木=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点NKP6=九则椭圆的焦点角形的面积为SMPF2=b2tan22(2)双曲线一2=1(a>0,b>o)的左右焦点分别为F,F2,点P为双曲线上任意一点/RPF,=/,ab则双曲线的焦点角形的面积为Sag怨=cot12、(1)设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF_1NF.(2)设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF"1NF.X2V213、(1)过椭圆r+=1(a>O,b>O)上任一点A(XO,%)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,Cabh两点，则直线BC有定向且原C=-H1(常数).提示：思考中点弦问题，也可以从极限角度思考。*X2V2(2)过双曲线/-3=1(a>O,b>)上任一点4%,%)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于h2XB,C两点，则直线Be有定向且&K=一一产(常数).Qy。