[寒假]圆锥曲线(教师版全套).docx

圆锥曲线与方程考纲导读1 .掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程.2 .掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质.3 .掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质.4 .了解圆锥曲线的初步应用.知识网络高考导航圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1.圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、0五个参数的求解.圆锥曲线的几何性质的应用.2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法.3 .有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现.4 .求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合,特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题,将是今后高考命题的一个趋势.第1课时椭圆基础过关1 .椭圆的两种定义(1)平面内与两定点用，Fz的距离的和等于常数(大于内用)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的,之间的距离叫做焦距.注：当2a=FR1时，P点的轨迹是.当2aVFR时，P点的轨迹不存在.(2)椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e,且用的点的轨迹叫椭圆.定点F是椭圆的,定直线/是,常数e是.2 .椭圆的标准方程(1)焦点在X轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：÷4=,其中.2b2(>>0,且1=)22(2)焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是J+.=,其中a。满a2b2足：(3)焦点在哪个轴上如何判断？223 .椭圆的几何性质(对A+J=,a>8>0进行讨论)a2力2(1) 范围：X,y(2)对称性：对称轴方程为；对称中心为.(3)顶点坐标：,焦点坐标：,长半轴长：,短半轴长：;准线方程：.(4)离心率：e=(与的比)，e,e越接近1,椭圆越；e越接近0,椭圆越接近于.(5)焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，P(WW)是椭圆上一点，则IsI=»PF2=2a-PF.=O4 .焦点三角形应注意以下关系(老师补充画出图形)：(1)定义：r+r2=2a(2)余弦定理：+行-2IVKOS0=(2c)2面积：-2=r1r2sin=12c%(其中P(M%)为椭圆上一点，|PF11=,PF2I=r2,ZF1PF2=6>)典型例题22变式训练2：已知)是椭圆PAI(Q心。)上的任意一点，F、E是焦点，求证：以利为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明设以程为直径的圆心为小半径为r:A、E为焦点，所以由椭圆定义知IQS1+QS=2a,PFi=2r；斤;I+2片2a,PF1(a-r)连结曲，由三角形中位线定理，知OA-PFiI=gX2(-r)=a-r.故以初为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。例3.如图，椭圆的中心在原点，其左焦点耳与抛物线丁=-4彳的焦点重合，过G的直线/与椭圆交于46两点，与抛物线交于G两点.当直线/与X轴垂直时，Ir=2（1）求椭圆的方程；（2）求过点0、F1,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;（3）求亭E*的最大值和最小值.解：（1）由抛物线方程，得焦点K（T,0）2设椭圆的方程:5+i小0）.一解方程组）得。（-1,2）,（1,-2）.=-1WA1=冬由于抛物线、椭圆都关于X轴对称，F1CJCDFiAAB因此，一一十!=1,解得尸=1并推得"=2.b2+Ib2故椭圆的方程为:+）,2=1.(2) a=2,/?=1,c=1,圆过点0、F1,.圆心M在直线X=-1上.2设M（-gj）,则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切,1 3>=（；）一（一2）二：2 2由IQM=Z",得J(-g)2+产=，解得=±0所求圆的方程为(x+)2+(y±2)2='.8分(3)由点耳(T,O),(1,0)若AB垂直于X轴，贝IJA(T,-),8(-1,一1 7F2AF1B=4=-9分2 222若A5与X轴不垂直，设直线A3的斜率为&,则直线43的方程为y=A(X+1)由IJ=Y")得(i+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0=8产+8>0,.方程有两个不等的实数根.设A(X1,月)，B(x2,y2).11分二-£,i1-1÷22121+2公/.A=(x1-1,y1),=(x2-1,y2)F2A-F2B=(xi-)(x2-)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-I)(X1+)+1+2二(1+小答J2+(公-1)(-若，)+1+2_7-2-1二791 +2&2-5-2(1+2公)220,+2,o<!11+2左2F2AF2B-1,-,所以当直线/垂于X轴时，F2AF2B取得最大值1当直线/与X轴重合时，用行取得最小值-1变式训练3：在平面直角坐标系也"中，已知点水-1,0)、B(10),动点C满足条件：力比的周长为2+22.记动点。的轨迹为曲线II：（1）求伊的方程；（2）经过点（O,2）且斜率为A的直线/与曲线/有两个不同的交点尸和求A的取值范围；（3）已知点材（4,0）,V（0,1）,在（II）的条件下，是否存在常数上使得向量OP+OQ与MN共线？如果存在，求出才的值；如果不存在，请说明理由.解：（I）设C（x,y）,YAC+C+AB=2+22,IABI=2,.*.IAq+忸q=2>2,由定义知，动点C的轨迹是以48为焦点，长轴长为的椭圆除去与X轴的两个交点.*a=2,c=1.*b1=a2-C2=./.%：f+y2=（"0）.（2）设直线/的方程为y=丘+,代入椭圆方程，得工+（丘+）2=2整理，得d+F）+2瓜r+1=02因为直线1与椭圆有两个不同的交点和。等价于=8公一4（工+公）=4公一2>0，解得女V也或女>正.222满足条件的A的取值范围为kb8与J吟,+8）（3）设（小，%），0（也%）,则OP+OQ=（为+如%+%）,由得%+乂=-仝又M+力=A（X+x2）+2直因为M（及,0），N（0,1）,所以3=（3,1）.所以OP+OQ与MN共线等价于X,+2=-2（y1+y2）.将代入上式，解得2=也.2所以不存在常数h使得向量OP+OQ与MN共线.例4.已知椭圆W的中心在原点，焦点在X轴上，离心率为坐，两条准线间的距离为6.椭圆W的左焦点为尸，过左准线与X轴的交点M任作一条斜率不为零的直线/与椭圆W交于不同的两点A、3,点A关于X轴的对称点为C.(1)求椭圆W的方程;(2)求证：C户=九FB(2R);(3)求"C面积S的最大值.解:(1)设椭圆W的方程为=1由题意可知所以椭圆W的方程为>*14分2(2)解法1：因为左准线方程为所以点M坐标为(-3,0).于是可c设直线/的方程为y=Z(x+3).y=G(+3),2y2(1÷3k2)x2+1Sk2X+27k2-6=0.I=162由直线/与椭圆W交于A、B两点,可知=(18/)2-4(1+3/)(27/_6)>0,解得k2<-,3设点A,8的坐标分别为(4凶)，(%,必)，则x1+X2-18P+3k227F-6+3k2y=k(xx+3),y2=k(x2÷3).因为尸(一2,0),C(xp-y1),所以FC=(x1+2,-j？1),FB=(x2+2,y2).又因为(x+2)y2-(x2+2)(-y1)=(x1÷2)Z(X2+3)+(x2+2)k(x1÷3)=k2x1x2+5(x1+x2)+12J54F-12-90公+12%(54/72-90/+12+36-)1+3/所以丽=4而.10分2解法2：因为左准线方程为/=-幺=-3,所以点M坐标为(-3,0).c于是可设直线/的方程为y=2(x+3),点A,B的坐标分别为(对)，(2,%),则点。的坐标为(X,-y),y=Z(+3),y2=k(x2+3).由椭圆的第二定义可得|尸8|二占+3二|%1FCT3y1,所以5,F,C三点共线,BPCF=FB.10分(3)由题意知S=MFy1+MFy2=MF-y1+y2=Ik(xi+x2)+6kI3W1+3/-+3IZ1/33¾当且仅当公=1时“二”成立,3所以M5C面积S的最大值为半.变式训练4：设耳、居分别是椭圆工+=1的左、右焦点.54(1)若P是该椭圆上的一个动点，求而丽的最大值和最小值；(2)是否存在过点A(5,0)的直线/与椭圆交于不同的两点C、D,使得FzC1=ED1?若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.解：(1)易知=逐的=2,c=1,.片=(7,O),B(1o)设PQx,y),贝J尸耳=(-1x,y)(1-x,y)=炉+)2-1X2+4-x2-=-2+355/X-y59y5,.当X=0,即点P为椭圆短轴端点时，丽所有最小值3；当x=±1即点P为椭圆长轴端点时，西丽有最大值4(2)假设存在满足条件的直线/易知点A(5,0)在椭圆的外部，当直线/的斜率不存在时，直线/与椭圆无交点，所在直线/斜率存在，设为k直线1的方程为y=k(x-5)Z+Z=由方程组I54一，得(5炉+4)f-50x+125公20=0y=女(X-5)依题意A=20(16-8022)>0,得一当<k<当当一半<女<半时，设交点Ca,必)、D(x2,y2)fCD的中点为R(Xo,%),则X1+X250k2x,+x225k2；,xa=5k2+4°25k2+4/zC,25k2C-20女y0=k(x0-5)=k(；5)=；.005k2+45+4又F2C=F2D=FzRt1=k*F,R=T20k0k2-4,而20k2=20k2-4不成立，所以不存在直线/,使得F2CkFzD综上所述，不存在直线人使得尸2CU1FzDi小结归纳1 .在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟