平面向量的运算(学生版）内容.docx

平面向量的运算(讲义)知识点一向量加法的三角形法则已知非零向量”, ,在平面内取任意一点A,作#=,鼠=b,则向量祀叫做。与力的和，记作+"即。+=霜+觉=祀.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角芨法则.注意点：运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连反思感悟 向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即AA + AA2) + An-An = AA,t.知识点二向量加法的平行四边形法则1 .以同一点。为起点的两个已知向量"，以0A, 03为邻边作口0AC3,则以。为起点的向量能(0C是口04CB的对角线)就是向量。与的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2 .从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的.3 .对于零向量与任意向量规定+0=0+=.注意点：运用向量加法的平行四边形法则作图时.，要强调两个向量起点相同.反思感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何两个非零向量求和当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半平行四边形法则(1)共起点(2)仅适用于不共线的两个向量求和知识点三 共线向量的加法与向量加法的运算律1 . 一般地，我们有+bo+步I，当且仅当, b方向相同时等号成立.2 .(加法交换律)+b=)+出(加法结合律)”+(b+c)=(+)+c.反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.知识点四向量加法的实际应用反思感悟应用向量解决实际问题的基本步骤表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.知识点五向量的减法运算1 .相反向量：与向量。长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作一2.向量的减法：向量。加上方的相反向量,叫做与的差，即。一8=。+(一)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量,求两个向量差的运算叫做向量的减法.注意点：(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a+(a)=(a)+a=O.(3)若a, 互为相反向量，则a=一万，b=a, a+b=O.知识点六向量减法的几何意义已知向量, b,在平面内任取一点。，作=G, 0=,则成=。一5.即。一可以表示为从向量力的终点指向向量。的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.反思感悟求作两个向量的差向量的两种思路可以转化为向量的加法来进行，如ab,可以先作一人然后作。+(一6)即可.可以宜接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.知识点七向量加减的混合运算反思感悟(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式首尾相连且为和.起点相同且为差.知识点八向量加减法的综合应用反思感悟(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道.主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养.知识点九向量的数乘运算一般地，我们规定实数2与向量。的积是一个血量，这种运算叫做向量的数乘,记作曲，其长度与方向规定如下：()a = a. (0)的方向当拉。时,与的方向相同;当2<0时,与的方向相反.特别地，当2=0时，A=O.当 2= 1 时，(-l)a=-注意点：(1)数乘向量仍是向量.(2)实数人与向量不能相加.反思感悟2的正负决定向量觞(0)的方向，A的大小决定觞的模.知识点十向量的线性运算1 .数乘运算的运算律设九"为实数，那么(1 )(a) = ()a.(2)(z+)-2+z.(3)2(+b) =ab.特别地，(-2)a=(2)=2(-a), (a-b)=a-b.2 .向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量m b,以及任意实数九川，偿，恒有加“。土2mZ1±A2反思感悟向量线性运算的基本方法类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式''是指向量，实数看作是向量的系数.方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.知识点H一用已知向量表示其他向量反思感悟 用已知向量表示其他向量的两种方法（1）直接法结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.知识点十二向量共线定理向量共线定理向量（O）与力共线的充要条件是：存在唯一一个实数九 使5=相.注意点：（1）向量共线定理中规定0. （2）2的值是唯一存在的.反思感悟（1）证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A, B,。三点是否共线，只需看是否存在实数九使得显=流（或血=痴&等）即可.利用向量共线求参数的方法已知向量共线求九常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.知识点十三向量数量积的运算律1 .对于向量, b, c和实数人 有（1）。必=力。（交换律）.（2）（茄）必=。3=。（用）（数乘结合律）.（3）（+b）c=«c+bc（分配律）.2 .多项式乘法向量数量积(a+b)2=a2+2ab+b2(+)2=2+2+b2(a-b)1=cr-2ab+b1(a-)22+"(a+b)(a-b)=crb2(a+b)(g-b)=a2-b2(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab-2bc+2ca注意点：（l）0Z>="c推不出=c. （2）（a）ca（c）,它们表示不同的向量.反思感悟 向量的数量积。力与实数m 的乘积有联系，同时也有许多不同之处.例如，由。力=0并不能得出。=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律.知识点十四利用数量积求向量的模和向量的夹角反思感悟（1）求解向量模的问题就是要灵活应用 = 2,即=而，勿忘记开方.求向量的夹角，主要是利用公式cos 9=儒求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出。力的值及，I例的值，然后代入求解，也可以寻找，网，。山三者之间的关系，然后代入求解.知识点十五与垂直有关的问题反思感悟 解决有关垂直问题时利用功=0（, b为非零向量）.知识点十六两向量的夹角1 .夹角：已知两个非零向量, b, O是平面上的任意一点，作为=, h=b,则NAO8=6叫做向量a与b的夹角，夹角夕的取值范围是03%兀当9=0时，。与）同向;当=时，4与力反向.72 .垂直：如果。与方的夹角是5,则称。与b垂直，记作注意点：两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.反思感悟(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地,。与的夹角为仇21。与小伙九，22是非零常数)的夹角为仇，当九及<0时,为=180。一伙当见状2>0时，o=.知识点十七两向量的数量积1 .已知两个非零向量, b,它们的夹角为仇 我们把数量Wcos尾叫做向量。与b的数量积(或内积),记作a b,即 ab=abcos .规定：零向量与任一向量的数量积为Q.2 .向量数量积的性质设, b是非零向量，它们的夹角是ae是与b方向相同的单位向量，则e=e=cos .(2)±<=>=0.(3)当力时，ab=Mbf 与b同向,-ab9。与力反向.特别地，a a=a a=yaa.(4)比 0M注意点：数量积运算中间是“'，不能写成“x”,也不能省略不写.向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.(3)=0不能推出q和力中至少有一个零向量.(4)=痫是求向量的长度的工具.(5)沟通了向量运算与数量之间的关系.反思感悟定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式仍=WcosO.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.知识点十八投影向量1 .如图，设防是两个非零向量，4=a,劭="我们考虑如下的变换：过牯的起点A和终点3,分别作劭所在直线的垂线，垂足分别为4, B1,得到不瓦我们称上述变换为向量。向向量力投影，为短叫做向量。在向量方上的投影向量.2 .如图，在平面内任取一点。，作曲=，苏="过点M作直线ON的垂线，垂足为则切为就是向量Q在向量上的投影向量.设与方向相同的单位向量为e,。与力的夹角为仇则而与e, , 8之间的关系为O = cos e.0 bMl N向量。在向量上的投影向量是与向量b平行的向量.如果向量。与向量。平行或垂直，向量。在向量上的投影向量具有特殊性.反思感悟 任意的非零向量在另一非零向量力上的投影向量等于同cos为向量, 的夹角，e为与方同向的单位向量).平面向量的运算（考点精讲）考法一向量的加法运算【例1】向量（A与+ M旬+ （3+5C） + O .化简后等于（）A. AMB.0C.6D. AC【练1】化简.d）AB + CZ） + BC+Z）A.（2）（ab+b）+（b÷bc）+o .考法二向量的减法运算【例2】.化简下列各式：(1)AB-(CB-C4)； ©AB-AC-BD-CD; OA-OD + AD； ®NQQP+MN-MP.其中结果为0的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【练 2】化简：AB-CB-CD-Eb-AE = ()A. 6B. abc. bad. ca考法三向量的数乘的运算【例3】计算:(3)x4；(2) 3( ÷ Z?) 2(q