基于教材的学生自学策略研究--以人教版九下《28.1锐角三角函数》章节起始课为例.docx

基于教材的学生自学策略研究-以人教版九下28.1锐角三角函数章节起始课为例一、教材对比与分析1.1 立足新课标，分析教学起点义务教学数学课程标准（2023年版）对锐角三角函数的学习要求是利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数；能用锐角三角函数解直角三角形及一些简单的实际问题等。因此，本节课的教学应以相似的直角三角形和函数为知识生长点，在已经学习过了的直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形的边角关系的进一步深入和拓展，从而使得我们对于边角关系的刻画从"大边对大角、小边对小角的定性刻画"走向"定量刻画"。1.2 立足函数视角，分析教学重点锐角三角函数概念的建立是对函数概念理解的一种升华。在直角三角形中，随着锐角角度的变化，边长比值也随之变化，这两个变量呈现出的依赖关系，反映了函数中的对应思想，因此本节课的教学重点落在从函数的视角分析运动变化过程中两个变量之间的对应关系，需在概念给出前指明我们讨论的是角度与边长比值之间的关系，以此刻画这两个变量之间的关系，从而帮助学生理解锐角三角函数的函数本质。1.3 立足概念理解，分析教学难点义务教育数学课程标准（2023年版）强化学生对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构.因此，本节课的教学难点在于引导学生在理解锐角三角函数的概念时，应知其然，且知其所以然。通过问题设计让学生理解数学基本概念的发生与发展，从而体会到概念形成的必要性、必然性和合理性。1.4立足多版教材，分析教学路径图一：京教版和北师大版的章前言对比图第二十八章做角三角晶敷a<RA*Ks>s<tae4e.,za1973<PMB<t.4MAS944aa<M/入4J1.JS*4HMH9<R.><二.，)TCXBMkQ4A舄-<<1>(>>>S*<4HBHB?&Ha4.图二：人教版本节内容的部分呈现(1)对比章节名称和章前言：通过三版教材的对比发现，京教版章节名为解直角三角形，北师版名为直角三角形中的边角关系，二者均聚焦于从几何的视角研究直角三角形中的边角关系，其函数意味稍显单薄，只有人教版为锐角三角函数，更侧重于从函数的视角研究几何问题，其中在章前言中更是直接借助著名的比萨斜塔实际问题引出本章的研究价值，即探索直角三角形中的边角关系；(2)对比教材内容：人教版、京教版和北师大版三种教材异曲同工,都从生活实际问题出发,先引出其中一个三角函数的概念，再进行类比研究其余三角函数。从人教版教材的编写来看，文中一个问题两个思考一个探索，更能启发学生思维走向深处，而且文中多次提到当角为定值时，边之比有唯一确定的值与之对应，引导学生类比之前的函数学习经验，自然的生成函数概念。因此从教材的编写来看人教版的本章节内容更适合学生阅读。同ru<ttm.KM”及信于山f的断为宦精利山次尔tt.住山MM:修0-“场次的M雉遗行<Z>>.为使出床”的高度为3Sm缶饕屐，“长的米许？立上立同中.出水口的充扈号50m.幺,鼻壮4多长立应1>SM12.ftt-fRH'.能/C纣ZA计算NA的H,与边州比霜.*更年f1t出什幺“法O*fftsRgA1r8RtAA7c”(IB28*1-3)«便用WNA-Z*.幺焉*什幺美4Y东篁”一下，？图三：人教版教材片段二、自学试验与课堂实录2.1 自学设计说明本节内容既是章节起始课又是一节概念课，新课标中对于本节课的学习目标定为"探索锐角三角函数概念的形成过程，认识锐角三角函数基于概念课的学习经验来看，如何让学生体会到概念的发生、发展过程是本节课的教学重点，如何理解锐角三角函数概念的内涵，知其然更知其所以然是本节课需要突破的难点。结合本节课的教学方式为学生自主学习，如何引导学生一步步思考，从生活中的熟悉场景入手，引发其对数学问题的探索，从而用数学的思维思考问题是我在设计本节课需要思考的最主要的问题。为了解决以上思考，突破本节课的教学重难点，我设计了如下几个教学环节，层层递进来达成学习目标。自主学习主要包括以下几个环节：（-）基于教材设计自学任务，学生自主探究，通过独立思考后的小组交流，发现规律即：直角三角形中锐角定时，边之比为定值；角变化时，边之比随之变化但有唯一确定的值与其对应，初步感知锐角三角函数的概念；（二）自主阅读教材，学生通过精读教材，规范其语言描述，初步形成锐角三角函数的概念；（三）阅读教材后的质疑与交流，教师提出追问，经过师生对话，学生理解概念的形成、发展过程；（四）补充北师大版中例题，通过求一般三角形中锐角的正弦值再次体会本节课的研究对象，提出质疑即为什么在直角三角形中给出锐角三角函数的概念，引导学生深入思考，进一步深化概念。2.2 教学环节环节一：回忆引入，从边、角以及边和角的关系等方面回顾直角三角形的已研究内容，引出本章将要学习的内容。如为B1A念4诩加iX_c0瓯谴起【意图】通过回顾已经学过的知识，从系统上发现本节课的研究内容，理解本节课的研究价值，进一步感受数学问题的研究思路.环节二：在解决问题中，提出猜想（学生独立思考3分钟+小组交流3分钟+小组展示2分钟）问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角（NA）为30。时（1）为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管？(2)为使出水口的高度为50m,需要准备多长的水管?(3)在解决以上的问题中,当BC变化时，AB如何变化?问题2:若问题1中的荒山测得斜坡的坡角(NA)为45。时(1)为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管？(2)为使出水口的高度为50m,需要准备多长的水管?(3)在解决以上的问题中，当BC变化时，AB如何变化?问题3:/A=a时，以上结论还成立吗?你会证明吗?即：水管的高度随着出水口的高度变化而变化吗？但水管的长度与出水口的高度之比是定值。已知：在RTAABC和RT£B'C'NA=NA'=a,NC=NC'=90°求证:分析：/在RTZkABC和RT£B'C'NA=NA'=a,NC=NC'=90°/.RTABC"RTAVB'C'.ABBCBCBCAB_BCABAfBf小组展示后形成更一般的结论，抽象出概念(教师板书归纳)教师归纳：在RTaABC中，当锐角A一定时，NA的对边与斜边的比值是个定值。（备注：在一个变化过程中，如果有两个变量X和y,并且对于每一个确定的X,y都有唯一确定的值与它对应，我们就说X是自变量，y是X的函数）引出概念：把锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦【意图】通过教材中呈现的生活问题，抽象成数学问题，从特殊到一般的研究边与角的关系，引导学生从运动变化中找规律：直角三角形中锐角定时，边之比为定值；角变化时，边之比随之变化但有唯一确定的值与其对应，感受变量间的相互依赖关系，形成函数概念。环节三：阅读教材61-63页并思考本节课我们探索了什么？我们如何展开探索的？运用了哪些思想方法？你阅读后有哪些质疑或者思考？继续探索我们还可以如何展开？预设1:本节课从实际问题抽象出直角三角形问题，探索了边和角之间的关系，形成了锐角三角函数的概念；预设2:从实际问题入手，从一般到特殊，在运动中发现了规律，直角三角形中锐角定时，边之比为定值；角变化时，边之比随之变化但有唯一确定的值与其对应；预设3:体现了从特殊到一般的研究思路；提出追问1:研究了直角三角形中边角关系的意义在哪儿？预设：可以用边之比来刻画角；追问2:既然研究边与角的关系，两边从数量角度考虑有加减积比等多种关系，为什么用两边比来刻画角？你能举例说明吗？预设：以等腰直角三角形为例设边BC为X,则AB=网BC+B=(1+2)xANB-BC=(27T)xX.AB*BC=2x2C1_ABBCB=?又一次发现，当角定时，两边之间的关系只有比值不会随着边长的变化而变化，因此用边之比来刻画角。本质是当直角三角形的一个锐角确定了，其形状也就定了，三边之比也就确定了。追问3:既然边之比可以来刻画角，那么NA相关的边有三条,其他边之间的比是否也可以来刻画角呢？NA确定，其他比之比是否也随之确定呢？预设：自然引出余弦和正切的概念，从而生成锐角三角函数的概念。NZ的余弦:COSOf=NZ的正切：tana【意图】本节课的形式是学生自主探究和阅读，那么教师的指导作用体现在阅读后的问题点拨和交流，通过提出问题串，引导学生了解锐角三角函数概念发生、发展的过程，构建知识体系，从而体会概念的合理性，进一步理解概念。环节四：练习：已知iABC中，CD是AB边上的高，CD=12,AD=9,BD=5,求sinA,sinzACD,sinzB,sinzBCD的值.概念深入，提出追问：为什么放在直角三角形中定义锐角三角函数？【意图】练习题目源自北师大版的例题补充，本节课是从直角三角形出发，研究了锐角的正弦、余弦和正切，但在求一个锐角三角函数值的时候应该走向更一般的三角形，那么解决问题的方法却又回归到将一般三角形转化为直角三角形，经过本小题的练习，让学生再一次体会锐角三角函数概念的形成条件初步体会转化思想。同时经过追问,再一次体会只有在直角三角形中,给以一个锐角时，三角形的形状才会确定下来，本质是相似图形的判定，建立其本章和前一张相似三角形之间的联系。环节五：反思提升思考根据正弦、余弦和正切的定义，你还有哪些发现?(1)O<sina<1O<cosa<1(2)sina=cos(90-a)(3)Tana=sincos【意图】引导学生从研究函数的角度，进一步提升思维，渗透三角函数的进一步学习方向，渗透初高衔接。三.自学反馈与反思教学后为了解本节课学生的学习情况，也为了很好的了解学生关于自主学习的一些想法，课后及时进行了问卷调研，设计了如下几个问题。问卷调研：1 .本数学课我们探索了什么内容？如何探究的？2 .本节数学课你印象最深的是什么？3 .本节课后若继续探索，你想探索哪些方面？4 .你对自主学习模式有哪些建议？dItf:何拿广”aatonfitFr”八2y型力yS型J*MM1N短d4.&N*?7“>G3B»eU4M.H<><力-MP，0/«»）"JUR。QJM!（4"4以<*"，）B.»14.M>WN4k,1"赳慢JyUIAxW1'U"凶38WgN11fiKtfr*,你*”方，<UNQ»14IjM用3XMQ.4体W。上It套域。£，”的常刀式府uP4打«丸”大虬3"3例4.可1 'Y1riiffK工F岫WM1F、本伊舞篇«“0«>«»«BtI.体射CI主H1t*h主*第年NKMW'彼和皿梦M百%;3你对自主n套或n第等习程式geymf图五：学生问卷反馈（部分）从调研反馈结果来看，有如下几种：问题学生反馈本数学课我们探索了什么内容？如何探究的？