专题24 极值点偏移之和(x1＋x2)型不等式的证明（解析版).docx

专题24极值点偏移之和(Xi+。)型不等式的证明【例题选讲】X例1(2013湖南)已知函数/(X)=市孑求/(x)的单调区间；(2)证明：当/(x1)=(x2)(x1x2)时，x+%2<0.解析(1)函数/()的定义域为(一8,+).1x1%x1-2x-11%x(-1)2+2/'(x)=(市)i+R=(1+/)2/当x<O时,r(x)>O;当x>O时，ff(x)<O.所以/(X)的单调递增区间为(一8,0),单调递减区间为(O,+).11+x(2)法一：令函数方(X)=/(x)-(一),x(0,+),代入化简得尸(X)=I不9(1一%)。'一厂.1-1-X再次局部构造辅助函数，令G(X)=(I一入贮一一,求导得G<x)=-eF(e2%-1).当x(0,+00)时，Ga)<0,即G(X)是(0,+oo)上的单调减函数.于是G(x)<G(0)=0,则尸(x)<0.即产(x)=/(x)/(x)<0.所以x(0,+s)时，式x)勺(一x).由X2(0,+),则“V2)勺(一工2)又兀H)=/(X2),即得五用)勺(一工2).根据(1)知“X)是(一8,0)上的单调增函数,而X(-,0),2(-,0),所以X<X2,故%1+X2<O得证.法二：不妨设X1VX2,要证明X1+%2<0,即X1VX2V0,只需证明了(X1)V/(一兄2),因为/(用)=/(%2),即/(%2)</(%2).而/(%2)</(一42)等价于1一兄2<0,X(0,+),令g(x)=(1-%)e2x-1-x(x>0),则g,(x)=(1-2x)e2x-1,令/z(x)=(12x)/x1,贝J»(%)=4xvo,所以z()单调递减，z(x)<z(O)=O,即g%x)<O,所以g(x)单调递减，所以g(x)Vg(O)=O,得证.1X1-1-%法三：先证明：x(,+),f(x)<f(-x),即证+工2。"V+x2°r，1IV此不等式等价于(1X)e'丁<0.1X令g(x)=(1-)ex-r,则gf(x)=xe-(e2x-1).1X当x(0,+),g(x)<O,g()单调递减，从而g(x)Vg(O)=0,即(1一1)/一得TV0.所以(0,+),/(%)</(%)而X2(0,+),所以/(%2)V/(不2),从而/(X1)V/(%2).9由于不，-2(-,0),/(X)在(一00,0)上单调递增，所以X1V一12,即X1+X2<O例2(2016全国I)已知函数式X)=(X2)e%+(x1)2有两个零点.求。的取值范围；(2)设XI，%2是大工)的两个零点，求证：X1+x2<2.解析(D(x)=(-1)e%+2(xD=(x1)e+2o).当a=0时，X%)=(-2)ex,力»只有一个零点.当。>0时，/(x)在(一8,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增.因为犬1)=e,12)=4,取。满足。<0且。<1n*则加)>翔-2)+。(。-1F=ab2->0,故段)存在两个零点.当<0时，由/(x)=0,得X=I或X=In(2).若定一宗贝IJ1n(2o)S1,段)在(1,+oo)上单调递增.当烂1时，危)<0,所以危)不存在两个零点.若<一,贝Inn(2)>1,所以外)在(1,In(2)上单调递减，在(In(2。)，+oo)上单调递增.当烂1时，»<0,所以危)不存在两个零点.综上，。的取值范围为(0,+).(2)分析法不妨设X1<X2,由(1)知X1£(8,1),X2(1j+),2%2(-,1),府)在(一00,1)上单调递减，所以Xi+%2<2等价于«¥1)次2%2),即人2一%2)<0.因为犬22)=2匕2一为+a(x21)2,tX%2)=(x2-2)e为+a(%2-1)20,所以五2一工2)=一应巳之一巧(2-2)e%2.设g(x)=-e2r-(-2)e则夕(幻=(11)(©2-%一6,当Q1时,g'(x)<0,g(x)单调递减.因为g(1)=0,所以当x>1时，g(x)<0,从而乳由)=。2x2)<O,故xi+x2<2.综合法设9(X)=/(2X)一危)，x<1,代入整理得Fa)=-Wr+2。2>e%.求导得广(X)=(I-)(e%-er+2).即时，F(x)<0,则函数方(X)是(一8,1)上的单调减函数.于是尸(x)>尸(I)=0,贝1人2一x)/(x)>0,即式2x)次x).由题用，X2是犬工)的两个零点，并且在X=I的两侧，所以不妨设X1<1<X2,则力)=x)勺(2X1),即力>2)勺(2一修).由(1)知函数式X)是(1,+上的单调增函数，且X2,2-(1,+),所以X2<2X1,故X1+%2<2得证.例3已知函数/(x)=g2+(1-)%Hnx,aR.若大X)存在极值点1,求。的值；(2)若“¥)存在两个不同的零点X1，X2，求证：X1+X2>2.解析(1)已知得了(x)=x+14*因为五X)存在极值点1，所以/(1)=0,即22a=0,a=1,经检验符合题意，所以。=1.(2y(x)=x+1-a-=(x+I)(I-3(x>0)，当。式时，/(x)>0恒成立，所以40在(0,+)上为增函数，不符合题意；当4>0时，由/(x)=0得X=G,当Qa时，力»>0,所以外)单调递增,当0<x<时，/(x)<0,所以本)单调递减,所以当X=。时，犬X)取得极小值式).又五工)存在两个不同的零点Xi,42,所以犬。)<0,即52+(i一。)。一。n。<0,整理得1no>15,作y=%)关于直线X=。的对称曲线gW=2a-%),人2一令h(x)=g(x)fix)f(2ax)fix)=2a2xHn一,2层22则12+瓦*-2+工,因为在(0,2)上,hf(x)O,所以(x)在(0,2)上单调递增,不妨设x<4<2,则h(x2)>h(a)=0,即g(%2)=f(2a-X2)>fix2)=),又2q-2(0,a),x(O,a),且“)在(O,4)上为减函数，所以20-12<x,即X1+%2>24,XIn易知成立，故x+x2>2.例4已知函数/)=-1+e".讨论犬x)的单调性；(2)设X1，'2是人工)的两个零点，证明：xi+%2>4.解析(1»(X)=I+巴当a>0时/(x)>0,则於)在R上单调递增.当a<Q时，令/(x)>0,得x<1n(-£|,则外)的单调递增区间为(一8,in(一力)，令/()<o,得x>m一J，则式x)的单调递减区间为(1n(力，+1X1jcX2(2)由3%)=。得4=ex，设g(%)=ex'则g'(%)=ex由/(x)<O,得x<2；由/(x)>O,得x>2.故g(x)min=g(2)=-E<0.当x>1时，g(x)<O,当x<1时，g(x)>O,不妨设x<,则为£(1,2),X2(2,+),xi+x2>4等价于X2>4-Xi,V4x>2且g(x)在(2,+上单调递增，要证xi+%2>4,只需证g(%2)>g(4-Xi),Vg(xi)=g(x2)=,只需证g(x)>g(4-修)，即再XI4，即证C?*4(xi-3)+%-1<0；e"eF设z(x)=e2-4(%-3)+%1,x(1,2),则/(%)=。2%一4(2%5)+1,令加(X)=z'(x),则4(x)=4e214(-2),V(1,2),.m,(x)<0,J根(X)在(1,2)上单调递减，即为在(1,2)上单调递减,."(x)>勿(2)=0,.x)在(1,2)上单调递增,.z(x)<A(2)=0,.*.e2x4(X13)1-1<0,从而xi+x2>4得证.例5已知函数/(x)=e"-g%2-Qjv(R).(1)若函数/(x)在R上是增函数，求实数。的取值范围；(2)如果函数g(x)=/(x)-(-g)2恰有两个不同的极值点芯,2,证明：%V1n2.思维引导(2)g(x)=f(x)-(a-)x2=ex-ax2-ax,g'(x)=ex-1ax-a.所证不等式含有3个字母，考虑利用条件减少变量个数.由,%为极值点可得11-,从而可用为,表示。，简化所证ex2-2ax2-a=Q不等式.解析(1)。/(x)是R上是增函数，.xR,/'(x)=e龙一x-aO,.Q(e"-x)min设z(x)=e九一X,hr(x)=ex-1,令(X)>0解得%>0,故(%)在(-00,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.%(%)min=九(O)=I,.a1.(2)依题意可得：g(x)=ex-c2-ax,g'(x)=e"-2ax-a.t4.ug'(xI)=Oe%1-20r1-a=0_,_9一小石，42是极值点，=>S,两式相减可付：2a=.一g()=°e%2-2ax2-a=0x1-x2所证不等式等价于：Joe2<£J,不妨设玉，两边同除以d可得：2x1-x2x1-x2画一巧e¾-_1e2<(观察指数嘉的特点以及分式的分母，化不同为相同，同除以I?使得多项呈占一马的形式)X1-x2从而考虑换元减少变量个数.令/=玉-42%e(0,+)-所证不等式只需证明：/S+1<O,设P(X)=修e-1,y(x)=-e2(e2-(1)£t由e"x+1可得：e2-(-+1)0,2'(x)0,.P(Z1)在(0,+)单调递减，p«)<JP(O)=O,原不等式成立即x<InIa总结提升本题第(2)问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于。的等式消去叫进而使所证不等式变量个数减少.最大的亮点在于对士也<1n=-'的处理,此时对数部分无法再做变形，两边2x1-x2取指数，而后同除以小，使得不等式的左右都是以石-为整体的表达式，再利用整体换元转化为一元不等式.v1,例6已知函数/(x)=1+hu-1(相R)的两个零点为xi，x2(xi<X2).(1)求实数机的取值范围；112(2)求证：一+>一.v7X1X2eATII1m1x2m斛析(Iy(X)=一芦+元=2%2x+Q%)1I1,.*x(-x)<21?=7,.”(x)>0,.°(x)在(0,工)是增函数，.°(x)<9(")=0,原不等式成立.【对点训练】1.已知函数/(x)=e*-qx1(Q为常数)，曲线y=(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为-1.求a的值及函数y=(x)的单调区间；，®m<0,r(x)>0,/(x)在(0,8)上单调递增,不可能有两个零点.机0时，由<x)>0可解得兄2根，由广VO可解得OVXV2加，.(x)在(0,2m)上单调递减,在(2机，+oo)上单调递增,YY11于是f(X)minf(2加