专题26 基本不等式及其应用（解析）.docx

专题26基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分）1 .建造一个容积为8租3,深为2根的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为（）A.1680元B.1760元C.1800元D.1820元【答案】B【解析】解：设水池池底的一边长为加：，则另一边长为士机，X则总造价y=4X120+80X（2%+2彳）X2=480+320（%+480+320×2=1760（办当且仅当=1,即=2时，y取最小值为1760.所以水池的最低造价为1760元.故选B.2 .为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体4/1CID1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区ABs的面积为IoooTn2,绿化带的宽分别为2机和5n（如图所示）.当整个项目占地4/165面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为（）ADB5m'5mIGA.20mB.50mC.1010mD.100m【答案】B【解析】解：设BC=xm,知/B=机，X整个项目占地4/CID1面积为S=(%+Io)(詈+4)=1040+4x+W"1040+2口1440.当且仅当4%=U2U,即=50时取等号.当整个项目占地4/1CiDi面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为50m.故选3.3 .设Q>0,b>0,+b=1,则下列说法错误的是()A.ab的最大值为:B.a2+的最小值为TC.1+(的最小值为9D.ya+VF的最小值为V【答案】D【解析】解：由题意，对各选项依次进行分析：对A,因为正实数。，满足+b=1,所以1=a+b2F,当且仅当Q=b=1时等号成立，所以bT当且仅当Q=5=：时等号成立，故"有最大值：，故A正确；4对B,因为(+b)?=2+h2+2ab=1,所以M+b2=1-2h1-2×i=,当且仅当Q=b=决寸等号成立，所以4+力2有最小值/故B正确.y1Y/Y、u7(a+b=1对C利用基本不等式，有(+*=C+£)m+b)=?+£+52片十+5=9,当且仅当竺=2,aaaNa1b即Q=|,b=：时等号成立，故工+:有最小值9，故C正确；ab对。，由题意，得(+F)2=+b+2F=1+2VaF1+=2,故+F2,当且仅当=b=手寸等号成立，即H+VF有最大值故。错误.故选D24 .已知n>0,xy>0,当+y=2时，不等式-+-4恒成立，则机的取值范围是()XyA.2,+)B.2,+8)C.(0,2D.(0,2【答案】B【解析】解：th>O,xy>O,x+y=2,÷-(x÷3z)(÷)=(m+2+手)(m+2+2)=(m+2+22),当且仅当§=学时取等号，不等式:+y4恒成立，.T(+2+22m)4,整理得(标+3)(后一)0，解得即m2,根的取值范围为2,+8).故选：B.5 .在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d=£,其中d是距离(单位,，m是质量(单位，左是弹簧系数(单位一弹簧系数分别为七，B的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数左满足2=2+2,并联时得到的弹簧系数左满足k=七+B已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为1，则并联时弹簧拉伸的最大距离为()IIA.cinB.«mC.I<D.2<2【答案】A【解析】解：根据题意可得，串联时左=?=¥=10,a1.1_J_|_J_心+七.卜的左2ZCZC1上2附上2'九1+k2串联时，k=M=°并联时，kr=k1+k2,弹簧拉伸的最大距离为d'=gr,KJ/V-£I/V2要想d'取得最大值，则/取最小值，kf=k1+k22,当且仅当q=B时，取等号，当心=B时，由5等=10得，k1=k2=20,K1十兄2此时/c'=q+B=40,则并联时弹簧拉伸的最大距离为冷，故选A.6 .数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物.曲线C(/+y2)3=i6%2y2恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到坐标原点0的距离都不超过2;曲线C围成区域的面积大于4小方程(%2+y2)3=16%2y2Qy<0)表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：(x2+y2)3=16x2y216(),解得%2+y24(当且仅当2=y2=2时取等号)则(2)正确；将2+y2=4和(%2+y2)3=16%2y2联立，解得%2-y2-2即圆/+y2=4与曲线相切于点(XI),(-2,2),(-2,-2),(VI)则(1)和(3)错误；由式y<0得(4)正确；故选3.7 .若正实数4,y满足10g2(%+3y)=1og4%2+1og2(2y),贝3%+y的最小值是()A.12B.6C.16D.8【答案】D【解析】解：正实数X,y满足10g2(%+3y)=Iog4X2+Iog2(2y),.(%+3y)2="(2y)2,整理，得X+3y=2xy,.q+=2,.3%+丫=*3%+丫流+|)=/10+蓑+?)兄(10+6)=8,当且仅当=y时取等号.故选D8 .中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为。，b,c,则三角形的面积S可由公式S=JP(P-)(P-b)(p-C)求得,其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足Q+b=12,c=8,则此三角形面积的最大值为()A.45B.415C.85D.815【答案】C【解答】解：由题意，得P=I0,所以S=yp(p)(p-b)(pc)=20(10-)(10-h)20-=85,当且仅当10a=10b,即Q=b=6时等号成立，所以此三角形面积的最大值为85.故选C.9 .函数f(%)、g(%)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且/(%)+2g(%)=靖，若存在(0,2,使不等式f(2%)-ng(%)0成立，则实数机的最小值为()A.4B.42C.8D.82【答案】B【解析】解：函数f(%)、g(%)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(%)+2g(%)=靖，可得f(一%)+2g(-%)=ex,即/(%)-2g(%)=ex,解得f(%)=(ex+ex)fg(x)=(ex-ex)f由(0,2,可得e%(1,e2,由t=e'-在(0,2递增，可得t(0,e2-e2f存在%(0,2,使不等式f(2%)-Tng(%)0成立，即存在(0,2,不等式+e-2%)e-x)0即租2(e：+e：“)成立,24ex-ex可得得n芋，由芋=t+2当且仅当t=时，取得等号，即有TTn22,可得in4V,即机的最小值为4V故选：B.10 .已知关于X的不等式2-4%+3q2<0(<0)的解集为(%1%2)，则+%2+的最大值是()A.渔B.2C,迥D.也3333【答案】D【解析】解：不等式/一4ax+32<O(Q<0)的解集为根据韦达定理，可得：X1X2=3a2,x1+X2=4,那么：%+X2+4+Q<0,.一(4+()2J(Ta)X(一5)=群即4a+幽3a3故+%2+9的最大值为更.x1x23故选：D.11 .已知关于X的不等式1%2+6%+。<0(出)>1)的解集为0,则T=显与+强等的最小值为()A.3B.2C.23D.4【答案】D【解析】解：由题意得：工>0,b2-0,得C之空.aa4rr,11a(b+2c)、1+2ab+a2b2人,“r,C"=许5+*?)，令她一1=租，则租>°，所以T1+2(+(3=依+马+24.则T=+嘤学的最小值为4.2m2m2(b-1)ab-1故选D.12 .已知函数/(%)=FIn%+：-,k(0,+),曲线y=/(%)上总存在两点MO1Ji),N(%2J2)使曲线y=f(%)在M,N两点处的切线互相平行，贝以2的取值范围是()A.|,+8)B.,+)c.(,+)D.(,+8)【答案】D【解析】解：/(%)=/妥1(%>0,/c>0),由题意知,尸(第1)=尸(%2)，即鹿=一1-,/VX14Zv%2人2.持=上+上=>4,（等号取不至U）kx1X2X1X2%1%2%1%2>靛恒成立，令g(k)=|,g<k)=令g(k)=0,得k=1,故有g(c)在(U)上单调递增，在(1,+8)上递减，则有g(k)g(1),故g(Q<g(i)=j7>,%2>±,故选D二、单空题(本大题共6小题，共30分)13 .已知正数。，人满足+b=2,则7+六的最小值为.a+1b+1【答案】2b+1j4(a+1)、【解析】解：正数。，人满足+b=2,则+1+b+1=4.则上+=i(+1)+(&+1)(-+)=-(5+-(5+2a+1b+141vjkyjv+1t>+174va+1b+174v=1x(5+4)=£当且仅当Q=&b=|时原式有最小值.故答案为：2,14 .壁画为人类历史上最早的绘画形式之一.早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展.作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面.现要制作一幅长和宽分别为。米和方米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成.壁画边框要求其长和宽使用不同的材质(厚度忽略不计)，长和宽材质的单价分别为50元/米和100元/米，彩画的单价为200元/米2.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是元.【答案】800【解析】解：由题意，设彩画长。米，宽方米(其中Q>0,b>0),则有2(50+100b)4400,即Q+2544,所以彩画面积S=Qb=/<：X(等j：*6j=2，当且仅当：；以=4,即时不等式可取等号，此时彩画的面积为2平方米，费用为400元，边框费用为400元，总费用共需要800元.故答案为：800.15 .已知43、。为AZBC的三内角，且角A为锐角，若tnB=2tcm4则U+7的最小值为.tanBtanC【答案】I【解析】解：tanB=ItanA,角A为锐角,tanA>