专题20：凹凸反转问题 (教师版).docx
专题10：凹凸反转问题1.设函数/(X)=Inx-e1x,g(%)=a，-1)-.%(1)判断函数y=()零点的个数，并说明理由；(2)记h(x)=g(x)-(x)+-M,讨论h(x)的单调性；xe(3)若/(%)<g(%)在(1,+8)恒成立,求实数Q的取值范围.【解析】(1)由题意得：x>051e.(x)=-+->0,%e故f(x)在(0,+)递增；又/(1)=-1,f(e)=1-e1e=1->O,ee故函数y=(x)在(1e)内存在零点，.y=(%)的零点个数是1;(2)z(x)=1(%2-1)Iwc+JH=ax2aIwc,%ex1,1221h(%)=2ax=(x>O)jXX当O时,h'(x)<O,h(x)在(O,-+w)递减,(舍取负值),当>O时，由h,x)=O,解得：X=+(。,白)时，(“。，3)递减，X(=,+)时,hf(x)>O,h(x)递增,综上，",O时，h(x)在(O,-+w)递减,>O时,h(x)在(0,3)递减，在七1，+递增;2a2(3)由题意得：Iwc<1(f1),exX问题等价于Q(f1)如>15在(1,+8)恒成立,%e设左二，Xexe若记匕(x)=ex-ex,则k；(x)=ex-e,x>1时,"(x)>0,K(X)在(1,+8)递增,ki(x)>k1(1)=0,BPk(x)>o,若0,由于%>1,故a(x2-1)-Znx<0,故f(x)>g(x)5即当/(%)<g(%)在(1,+8)恒成立时，必有a>0,当>O时,设II(X)=a(x2-X)-Inx若41,即0<。/时，22,九(X)递减,X(-J=9+)9九(X)递增,由(2)得尤£(1,今)故h(-,)<h(1)=Oy而k(-j=)>O,yj2a2a即存在X=>1,使得/(%)<g(%),12a故O<Q<；时,/(x)<g(x)不恒成立；若即一时，2a2设s(x)=a(x2-1)-Znx-+,%ex,/、-I1eS(X)2(1XI,XXex由于2ax.x,且勺(X)=e"-exO1即三<1故-三>，eXeX因止匕S，(x)>x+>"2j+1=>0,XXXXX故S(X)在(1,+8)递增,即a.-B5f(x)<g(x)在(1+),恒成立,2综上，6Z-,+00)时，/(x)<g(%)在(1,+oo)恒成立.2.设函数/(x)=e*u+Q,证明X1解析1证明：.f(x)=ex1n+-ex1,X从而73>1等价于x1nx>xex-.e设函数g(x)=x加X5则g'(%)=1+/"X，所以当(0,-)时5g'(x)<0；e当X/,+)时5gx)>0.e故g(X)在(。2)上单调递减，在(1+00)上单调递增,ee从而g(x)在(0,+Oo)上的最小值为g(-)=-ee设函数z(%)=XeT-2,则旗X)=Gr(I-尤)，e所以当X(0,1)时，"(x)>0;当X(1,+)时,h,(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,他)上单调递减，从而z(x)在(0,+)上的最大值为z(1)；因为g*(X)=%=*x()，所以当0时，gM>h(x)»即f(x)>1.3 .设函数“%)=1nx+-X.%(1)当用-2时,求F(X)的极值；(2)当a=1时,证明：/(%)-，+%>0在(0,+8)上恒成立.【解析】(1)当"-2时，/(%)=加二71，(%)+与1=*+1),%.当x(0,2)时,fr(x)>O；当x(2,+)时,fx)<O."(X)在(0,2)上单调递增，在(2,+)上单调递减；."(%)在x=2处取得极大值/(2)=Z2-3,/(x)无极小值；(2)当a=1时,/(x)-+X=Ijvc+-5exXex下面证扇+1，即证x1nx+1>,Xex设g(x)=xzx+1j则短(%)=1+阮T,在(02)上，/(x)<0,g(%)是减函数；在(1+8)上,g"(x)>O,g(%)是增函ee数.所以g(x).gd)=i-1ee设MX)=W,则“(%)=5exex在(M)上，W)>0,力是增函数；在(1,+8)上,W)<05力是减函数,所以以戏,z(1)=-<1-5ee所以(x)<g(x),即三<x1wc+1,所以x1wc÷1>O5艮PIwC->OjexexXex即7(%)-4+%。在(。，+8)上恒成立.4 .已知函数/(%)=exa-In(X+a).(I)当心3时，求/(X)的单调区间与极值；(II)当Q,1时，证明：/()>O.【解析】(I)0=g时,f(x)=ex2-n(x+-),于<x)=e'2X+2注意到y=Jq与y=-T都是增函数，于是/(%)在(Iy)上递增，x+-22又d)=0,故-1<%<工时，r(x)<0;故光一时,f(x)>0,2222所以f(X)在U)上单调递减，在(*00)上单调递增，当X时，/取得极小值1,了无极大值.(6分)2(II)方法一:当区，1,x(-1,+)时,x-a.x-1,x+&x+1,.exa.ex,In(X+a),In(X+1),exa-In(X+a.ex1-Ir1(X+1)故只需证明当=1时，/(x)=ex1-In(X+1)>O.当=1时，f,(x)=ex11在(T,+)上单增,x+1X)=-<o5(D=o5e2故fr(x)在(-1,+)上有唯一零点(0,1)当x(-1)时，f()0；当C,+8)时，f<x)>O从而=不时，/(幻取得最小值.由Jf(XO)=O得：ex0-1=-,<x0+1)=1-¾,+f(x)./(x0)=ex°1-1n(x0+1)=+x0-1=->0,x+1x+1综上,当时，/()>o.(12分)方法二：先证不等式e".x+1与x-1.Inx,设g(x)=-x-1,则g,()=ex-1=0=>jc=0,可得g(%)在(,0)上单减，在(OM)上单增，.g()=ex-x-1.g(O)=O,SPex.x+1；h(x)=X-I-Irvc,贝IJh,(x)=1-=O>x=1,可得心)在(M)上单增，在(1,+8)上单减,/.h(x)=x-1-1nx.h(1)=O5即x-1.Inx.于是，当知1时，x-½-a+1x+q-?In(X+d),注意到以上三个不等号的取等条件分别为：X="、"=1'x+a=1,它们无法同时取等，所以,当时,exa>1n(x+a),SP/(x)>O.(12分)5 .设函数小)=画,g(%)=Inx+b,其中Q,牝H,e是自然对数的底数.(1)F(x)=xf(x),当="1时,求方(X)的最小值;(2)证明：当=。<1时，总存在两条直线与曲线y=/(%)与y=g(x)都相切；(3)当Q.4时，证明：/(x)>4g(x)-Z?.e【解析】(1)F(x)=xex-1,F,(X)=(x+1)ex-1,当(-,-1)时5Ff(x)<O5分(%)单调递减，当(Ty)时5F,(x)>O,方(%)单调递增，故X=T时，方(X)取得最小值F(-1)=-e2;(2)/()=./=/在(九*T)处的切线方程为尸尸x+(1-*T,.g),.g(%)=加+在点(,Inn+。)处的切线方程为y=-x+1nn+b-1,由题意得一一n5则(*1)尸-m+b=O,(1-m)emi=Inn+-1令*h(m)=(mI)"】-m+b,则hr(x)=me帆T-I,由(1)得一V-1时,r(m)单调递减，且h'(m)<0,当机>-1时,”(单倜递增,又"(1)=0,机VI时，hf(jri)<O,二.当帆<1时，h,ni)<O,用(单倜递减；当机>1时，h,ni)>O,Mni)单调递减,由(1)tz(-1)=(-2)2+1.-+1>0,eXz(3-)=(2->2"+2-3>(2-)(3-)+27-3=(-)2+->0,24h(1)=-1<05所以函数周附在3-U)和(1,3-加内各有一个零点,故当。1时，总存在两条直线与曲线kf(x)与y=g(x)都相切;(3)证明：/(x)>xg(x)-bInx>0,令G(X)二InX(X>0),以下证明当.时，G(X)的最小值大于0,Xe求导的G(X)二幺J二(XTf-,XXX当OV-I时,Gr(x)<0,G(X).G(1)=ae>0,Hf(x)=ex+->o5又“(2)=f2=za.o,ax-1)aaH,x=ex+0,又“(2)=/_2=竺E.oa(x-1)aa2取代(1,2)且使即a(t-1)ae-Y贝IJH(X)=-</_/=0,1)HSH(2)<0,故H(X)存在唯一零点x°(12),即G(X)有唯一的极值点XOW(12),又G(Xo)=ItiXq,且HcX0)=*/、=0,SPex°=x°,故G(Xo)=-1xq,Q(Xo-1)Q(Jro-1)X0-I,G(X)-205故G(Xo)是(1,2)上的减函数，(XO1)XO/.G(X0)>G(2)=1-Zz2>O5所以G(X)>0,综上所求,当时，/(x)>xg(x)-.e6设函数/(x)=1nx+ax1+x+1.(1)当°=-2时，求函数/(X)的极值点；(2)当=o时,证明：加”(X)在(0,+)上恒成立.【解析】(1)由题意得X(0,+8)J'(X)-2%+1=-2f+%+1,XX当(%)>0时，0<x<15/(%)在(U)上为增函数；当(x)<0时，x>15/(%)在(1,+8)上为减函数；所以>1是/的极大值点，无极小值点(2)证明：令F(x)=xex-/(x)=xex-1nx-x-1(x>0),贝IJFx)=(X+1)ex-1=山(%/-1),XX令G(X)=XeX1,贝1)因为6'(%)=(%+1)d>0(尤0),所以函数G(X)在(0,+)上单调递增，G(X)在(0,+8)上最多有一个零点,又因为G(O)=TvO,G(1)=e-1>0,所以存在唯一的c(0,1)使得G(C)且当x(0,c)时,G(X)<0;当(c,+)时9G(X)>09即当(0,c)时,F(x)<0;当Xe(C,o)时，F,(0)>0,所以P(X)在(0,C)上单调递减,在(GW)上单调递增,从而F(x).尸(C)ce，Incc1J由G（C）=0得c-I=O即=1,两边取对数得：Inc+c=09所以b(c)=O,F(X).F(C)=0,从而证得xex./(x)
