线代证明 2.docx
线代重要的证明1.设A是阶实方阵，且4A=°。证明A=0。A=aUa21anO/?)%;a2n4=anai2“21。22an1an2证明：设an1an2ann)，则aIna2nann,O从而。AA二+a21+*+an1U2+C*122+an2*=0*aIn+%;+2+ann)O所以十名!1+,÷=an+£+*=-a2n+”2znn=0O因为"。为实数，故%=U(U=12,即A=Oo2.设Ia",%间2，4互不相同。证明与A可交换的矩阵只能为对角矩阵。%W比、1匕22b?n证明：设与A可交换的矩阵为V«1bn2nnJf由AB=JBA得:%"12。2a2"2"21CtJb12a22naib21"2"22anb2nanbn1anbn2anbnn,'她1。222anbnn,即aibijajbij(Z,=1,2,.,)o由于%，。2，4互不相同，所以,时，二°。故%O0、ObA0B=221°bn20JO即JB为对角矩阵。3.证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。(A+4)(A-A')IJC证明：设A为方阵，记22则可知B为对称矩阵，C为反对称1.1. 知方阵A满足A,-A7石二°。证明A及A+2石可逆，并求它们的逆矩阵。A_1=(A-E)证明：由TA7E=0,可得：A(A-E)=JEq所以A可逆，且7。同理由A2_A_7E=0,可得：(A3£)(A+2£)=£。所以A+2不可逆，且(A+2E)1=A-3Eo70、5 .设A,B分别为机，阶可逆方阵，证明分块矩阵IC可逆，并求逆。A0(A0、证明：因为A,6可逆，所以1A10,0o故。，I"，从而AX11=EAXn=0<CX11+BX21-0.r曰CX”+BXDDE于是I1222<=0<X21=-B1CA1(AVD1,解得22-O故矩阵IC0、3)的逆为1-5TCATB-i)6 .证明：D上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。证明：1）记A"%）*'-（如1为上三角矩阵，C=AB。则时,%二°,&二°。对任意s,当is时，他二°,当左is时晨=。，即任意s,Q也二°。从而i左时，曝=+aisbsk+-+ainbnk=°o故上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。aI1ai2aInO“22-aIn2）对可逆的上三角矩阵1°°"%J%°（Z=12,），对于aI1anaIn1O0、(AE)=O22M：O1.01°OOO1一4,先进行第二类初等行变换劭2EmBAEnEmmOBE-ABn=m-nEn-ABeJpEm-BABEm1°切，故AEn从而Er-AB=n-mEm-BA9.下列向量组中，向量，能否可由4,02,%线性表示？若能，写出表示式，并说明表示式q11Z100%;111201001111001i-%31b112)00aa3解：1)因为U),故22O表示式是否唯一，%=(111D,%=(1,1,1,1),%二(1，111),(1,2,1,2)是唯一的。io.设%,%,%线性无关，证明%,%+%,/+%+%也线性无关。证明：设有k1ai+k2(ai+a2)+k3(ai+%+%)=°即(Zr1+Zr2+k3)a1+(左2+k3)a2+k3a3=0由于%,%,如线性无关，所以(左1+k?+kJ(左2+)=k3=0推出=k?=k30故%ax-a2a1+a2+a3也线性无关。H.设向量组'一&线性无关，而向量组%'ccs,万线性相关。证明/可表示成/，4的线性组合，且表示式是唯一的。证明：因为向量组%，-ccs,线性相关，故存在不全为零的占''4'%使得匕%+ksas+kQo若左=0,则匕%+ZSaS=°。又名，'4线性无关,可得匕二°,此与%'4欢不全为零矛盾，所以左0.从而有（k、a、+÷kcc）nk,即/可表示成%4的线性组合。下证表示式是唯一。设有分=4%+4%,可得k=(1,2,1,1)V1)1%=(1111)A=(1,1,-1,-D/=(UT)应=(I-U)Q1111、11111、21111011-3-311-11100101解：1）因为J1111>0011>,故两向量组不等价。13.求下列向量组的极大线性无关组，并用它来表示其余向量:1)%=(0,0,0/)，%=(1,1,0,1),%=(2,1,3,1)¾=(1,1,0,0)¾=(O9I9-I9-I)99O线性无关组，且。4=-%+。2O13 .证明：秩（A+6）秩（A）+秩（6）。证明：记A的行向量组为，”,极大线性无关组为%弓2，弓仆B的行向量组为口,尸2,，耳,极大线性无关组为41，42,，则A+6的向量组为%+及,%+用，它可由劭02，,劭，j,j2,ji线性表示。所以秩（A+B）=秩(%+1，0cn+n)左+/=秩(A)+秩(B)。14 .设%是非齐次线性方程组AX=3的解，7-，么是AX=°的基础解系。证明：7，么。线性无关。证明：设有如，使得7+=O(1),若左0,则：%二；(左跖+)At7o=-(1¼+ksAs)=O勿人VCk,从而k,即依为AX=O的解，矛盾。故左二°,代入(1),由7'线性无关，知K=应=0,所以7,，么，仇线性无关。15 .设A3为阶方阵，A5=°。证明：秩(A)+秩(5)"o证明：记B=(BI,：),则5的秩等于向量组(耳，纥)的秩。又，Bn)(AB1,，ABn)即与，纥是齐次线性方程组AX=O的解，从而用一，纥可由AX=O的基础解系表示，所以向量组(与，纥)的秩小于或等于”秩(冷(基础解系中解向量的个数)。故有：秩(A)+秩CB)七16 .若T=A。证明：秩+秩(A-E)=n。证明：因为T=A,得A(A-E)=O,由提高题2知：秩(A)+秩(A-E)<n。又-A+(A-E)=-E由习题&可得"=秩(一E)秩(A)+秩(A石)。故秩(A)+秩(A-Ef)二nO17 .设阶矩阵A的秩为厂，小，/-川是非齐次线性方程组AX=3的解，且线性无关。证明AX=3的任一解可表示为+左+1/f+1,其中+kn-r+1=1o证明：因为阶矩阵A的秩为厂，所以齐次方程组AX=°的基础解系中所含向量个数为n-ro又因为1一'-+1是4*=3的线性无关解，所以%7,%-田一7是4X=°的解，且线性无关，故%一%,Zf+1-7是AX=°的一个基础解系。因此AX=B的任一解可表示为4(½-7i)+/-(+7)+7=(14-U)77+1r÷1,记K=(IT一一屋1,左2=4,Kf+1=O-,贝g+右+(-+=18 .证明：1)实反对称矩阵的特征值为O或纯虚数；2)正交矩阵的特征值的模等于1。证明：D设A是实反对称矩阵，4是A的特征值，则有X°,AX=XX。取共朝有AX=冗X。考虑XAX,一方面XAX=XX.另一方面，XAX=-XAX=-(AX)rX=-IxX；于是(2+力MX=0。又因为X0,所以!乂乂0。故2+2=0,即4为0或纯虚数。2)设A是正交称矩阵，是A的特征值，则有X°,AX=XX。取共朝有AX=NX,再转置XA=XfA=AXfo所以MX=MAAX=9Mx。因为Xw。，所以又X。故茏二1,即4的模为I。19 .设A8为正交矩阵，证明：D4一1与A为正交矩阵；(A2)I'J为正交矩阵。证明：1)因为A为正交矩阵，所以HA=石，即A=AT。又(AyA=G4A)'=E="，故4一1与A为正交矩阵。2)因为A8为正交矩阵，所以AA=石，BfB=Eo从而(AYpJA约1B,、Va)Jaab,)b).BrB)=EA即I、为正交矩阵。20 .如果二次型=xax,对于任意几维列向量x。，都有'。"。二°。证明A=OO证明：记A=（%Z<”,取、。二弓（表示第，个分量为1其余分量为O的维列向量），由X。'AXo=°,得=°；取x°=%（表示第，、第/两个分量为1其余分量为O的维列向量），由X。'AVO=°,则有%=°。故A=O。21 .如果A是正定矩阵，证明AT是正定矩阵。证明：因为A是正定矩阵，所以存在可逆实矩阵使得A=5'5o故AT=尸=Mng,即AT是正定矩阵。
